抛物线经典性质总结横版

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1、抛物线焦点弦性质总结30条基础回顾1.以AB为直径的圆与准线L相切;2.XX2=——;423.yyi=-p^;4.ZACfB=90;5.6.AB=xy+x2^p=2(x3+7.&9.1121=—■AF\BFP'A、0、B'三点共线;B、0、A'三点共线;10.SAOB=——AB(定值);2sina11.12.AF=;BF=1-cosq1+cosa13.BC‘垂直平分BF;14.AC•垂直平分AF;12.CF丄AB;13.

2、A^

3、>2P;12.CC]=-AB=;22P13.Kab=—;>314.tan

4、a=;X2_215.

5、a,b,

6、2=4

7、af

8、-

9、bf

10、;16.CF=-ABl.2I17.切线方程yoy=;n(x0+x)一)焦点弦与切线1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,两切线交点位置有何特殊之处?结论1:交点在准线上结论2切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3弦血/不过焦点即切线交点"不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴.2、上述命题的逆命题是否成立?结论4过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点结论5过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径.3、AB是

11、抛物线y2=2px(p>0)焦点弦,Q是AB的中点,/是抛物线的准线,力人丄八BB、丄!,过A,B的切线相交于P,PQ与抛物线交于点M.则有结论6刊丄结论7PFIAB.结论8肘平分PQ.结论9必平分丹平分结论10网•网=詰结论I】亦"二)非焦点眩与切线思考:当弦/〃不过焦点,切线交于P点时,也有与上述结论类似结果:结论12①廿舒,2p结论13刃平分ZAMB,同理刖平分AByBA.结论14ZPFA=ZPFB结论15点〃平分PQ结论16丙问=袴性质1:已知AB是经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦,则以AB为直

12、径的圆与抛物线的准线相切。HFEh…;1yAe卜图1图2证明:由图2可知,BF二BBi,AF=AA,,2PP1=AA1+BB1O所以2PP产AB。其中图1是图2的一个特例,即当焦点弦是通径时,图2即变成了图1。这就引导我们思考在图2中的两条直线PJ、PiB是否也是抛物线的两条切线,这样我们得出了抛物线的一个性质:性质2:已知AB是经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦,则以A、B为切点的两条切线的交点P落在其准线上。证明:设A(Xi,yi),B(X2,丫2),P点A在抛物线上:y/二2pxi点B在抛物线上:过

13、点A的切线方程:过点B的切线方程:Y2二2pX2yyi二p(x+xjyy2=p(x+x2)(x,y)(1)(2)(3)(4)肓线AB经过点F:X二『2X'~2X2~2(5)将(1)式与(2)式分别代入(3)、(4)、(5)式,得到2yyi=p(x+—)2pyy2-p(x+—)2p畑二-p,(3‘)(4‘)(5‘)Z2因为点pgy)的坐标满足⑶)、w),所稣、师视为是方程心(呛)的两根,因此由韦达定理可得yy二-p~2px。即x二-上。2所以点P的轨迹为抛物线的准线。从上面的证明中我们可以看出,当A、B两点的坐标满足

14、某种条件时,则以A、B为切点的两条切线的交点一定落在某条固定的直线上。因此,我们更进一步地得出了更好的性质:性质3:己知AB是经过抛物线y=2px(p>0)的对称轴(即x轴)上一定点P(m,0)(m>0)的弦,则以A、B为切点的两条切线的交点Q的轨迹是一条直线x二-叽对于上述性质的得出,我们使用了抛物线上已知切点坐标的切线方程的写法,但如果换一个角度看这个问题,我们也可以得出另一种形式的性质:性质:T:动点P在直线X二-H1上运动,过点P作抛物线的两条切线PA、PB,切点分别为A、B,连结AB,得到弦AB,那么弦A

15、B过定点5,0)。根据上面的讨论,我们得到了关于抛物线的一个性质,特别是对于抛物线的切线以及抛物线中动弦中的定值问题的结合,在高考题的命题中也常有涉及。例1:(2007江苏高考第19题)如图,过C(0,c)(c>0)作直线与抛物线y二X,相交于A、B两点,一条垂直于x轴的直线,分别与线段AB和直线y+c=0交于P、Qo(1)若OAOB=2f求C的值;(2)若P为线段AB的中点,求证:AQ为抛物线的切线:(3)试问(2)的逆命题是否成立。解:(1)设A(Xi,yi),B(x2,y2),C(0,c)点A在抛物线上:yF

16、Xi2(1)点B在抛物线上:y2=x22(2)直线AB经过点C:=(3)兀】勺将(1)式与(2)式分别代入(3)式,得到x】X2二-c,y1y2=c2ilOAOB-XiX2+yiy2=2,得c=2。(2)P为线段AB的中点,得点Q的坐标为(卫上乞,-c)22由AQ的斜率k严心*二址2册,过点A的切线的斜率为k2=2xlo所以直线AQ是抛_Xy+X2XX-X2

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