概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布

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1、第四章二维随机变量及其分布概率论与数理统计绘图环境的设置2图形的绘制和编辑3二维随机变量及随机变量的独立性1第四章二维随机变量及其分布第一节二维随机变量及随机变量的独立性12二维随机变量的概念随机变量的独立性一、二维随机变量的概念定义1设E随机试验E的样本空间为，而X,Y是定义在上的随机变量，则二维向量(X,Y)称为二维随机变量(2-dimensionalrandomvaribable)，相应地，称(X,Y)的取值规律为二维分布。一、二维随机变量的概念定义2设(X,Y)为二维随机变量，称为的联合分布函数(Jointdistributi

2、onfunction)。其中x,y是任意实数。称=为X的边缘分布函数(Margialdistributionfunction)，为Y的边缘分布函数。一、二维随机变量的概念联合分布函数F(x,y)有如下的性质：1.2.关于x、关于y单调不减；3.关于x、关于y右连续4.5.二、随机变量的独立性定义3设(X,Y)为二维随机变量。若对于任意实数x,y,有，即，称X,Y相互独立（Mutuallyindependent）。n维随机向量或联合分布函数为第二节二维离散型随机变量12二维离散型随机变量概念二维离散型随机变量函数的分布一、二维离散型随机

3、变量概念定义4若二维随机变量(X,Y)的可能取值是有限多对或可数无穷多对，则称(X,Y)为二维离散型随机变量，称它的分布为二维离散型分布。定义5二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值为称为(X,Y)的联合分布律(Jointprobabilitydistribution)，其中一、二维离散型随机变量概念定义6称为X的边缘分布律。称为Y的边缘分布律。一、二维离散型随机变量概念称为在条件下随机变量X的条件分布律(Conditionaldistribution)。称为在条件下随机变量的条件分布律。一、二维离散型随机变量概念二维离散型随机变量联

4、合分布律、边缘分布律表1一、二维离散型随机变量概念例1设随机变量X在1，2，3，4中等可能地取值，另一个随机变量Y在1中等可能地取一整数值，求(X,Y)的联合分布律，边缘分布律，条件分布律，并判断X与Y是否相互独立。解由乘法公式求得(X,Y)的联合分布律为，’=一、二维离散型随机变量概念表2一、二维离散型随机变量概念容易求得边缘分布律并可验证X与Y不是相互独立的。由=，（j=1,2,3,4），得在X=1的条件下，Y的分布律为二、二维离散型随机变量函数的分布例2设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为：求：（1）Z=2X+Y(2)Z

5、=XY的分布律。二、二维离散型随机变量函数的分布解：由的联合分布律可列出下表二、二维离散型随机变量函数的分布由上面的列表可得（1）Z=2X+Y的分布律为：（2）Z=XY的分布律为：第三节二维连续型随机变量12二维连续型随机变量概念二维连续型随机变量函数的分布3常见的二维连续型随机变量的联合分布一、二维连续型随机变量概念定义7F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，如果存在着一个二元非负实值函数f(x,y)，使得对任何x,y有则(X,Y)二维连续型随机变量，f(x,y)为二维随机变量的联合概率密度(Jointprobabil

6、itydensityfunction),简称联合密度函数。一、二维连续型随机变量概念联合密度函数f(x,y)具有下列性质：1.2.3.为连续函数，且在f(x,y)的连续点处，一、二维连续型随机变量概念定义8称为X的边缘密度函数。称为Y的边缘密度函数。一、二维连续型随机变量概念定义9称为在Y=y条件下X的条件概率密度,称为在X=x条件下Y的条件概率密度.定理2设(X,Y)为二维连续型随机变量，则X与Y相互独立等价于一、二维连续型随机变量概念例3设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为求：（1）常数c；（2）;（3）边缘密度函数;(4)条

7、件密度函数;（5）判断X,Y的独立性。一、二维连续型随机变量概念解（1）由性质得到(2)(3)一、二维连续型随机变量概念(4)==(5)因此X,Y相互独立。二、二维连续型随机变量函数的分布1.Z=X+Y的分布设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)，则由分布函数的定义知，Z=X+Y的分布函数为：=这里的积分区域是直线x+y=z及其下面的半平面。二、二维连续型随机变量函数的分布定理3（卷积公式）若(X,Y)的联合密度为f(x,y)，则Z=X+Y的密度函数为或特别地，当X与Y相互独立时，有或二、二维连续型随机变量函数的分布例4设随机变量X

8、和Y相互独立，且他们都服从N(0，1)，则Z=X+Y～N(0,2)证=二、二维连续型随机变量函数的分布定理4若随机变量X和Y相互独立，且则推论若~，，且它们相互独立，则它们的线性组合仍服从正态分布，即~，二、二维连续型随