2020年度九年级中考数学-动点问题专题训练(含答案)

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1、中考专题训练动点问题例1.如图,在中,,于点,,.点从点出发,在线段上以每秒的速度向点匀速运动,与此同时,垂直于的直线从底边出发,以每秒的速度沿方向匀速平移,分别交、、于、、,当点到达点时,点与直线同时停止运动,设运动时间为秒.(1)当时,连接、,求证:四边形为菱形;(2)在整个运动过程中,所形成的的面积存在最大值,当的面积最大时,求线段的长;(3)是否存在某一时刻,使为直角三角形?若存在,请求出此时刻的值;若不存在,请说明理由.【解答】(1)证明:当时,,则为的中点,如答图1所示.又,为的垂直平分线,,.,于点,,.,,,,,,即四边形为菱形.(2)解:如答图2所示,由(1)知

2、,,,即,解得:.,当秒时,存在最大值,最大值为,此时.(3)解:存在.理由如下:①若点为直角顶点,如答图3①所示,此时,,.,,即,此比例式不成立,故此种情形不存在;②若点为直角顶点如答图3②所示,此时,,,.,,即,解得;③若点为直角顶点,如答图③所示.过点作于点,过点作于点,则,.,,即,解得,.在中,由勾股定理得:.,,即,解得,.在中,由勾股定理得:.在中,由勾股定理得:,即:化简得:,解得:或(舍去).综上所述,当秒或秒时,为直角三角形.例1.如图,在同一平面上,两块斜边相等的直角三角板和拼在一起,使斜边完全重合,且顶点,分别在的两旁,,,(1)填空:  ,  (2)

3、点,分别从点,点同时以每秒的速度等速出发,且分别在,上沿,方向运动,当点运动到点时,、两点同时停止运动,连接,求当、点运动了秒时,点到的距离(用含的式子表示)(3)在(2)的条件下,取中点,连接,,设的面积为,在整个运动过程中,的面积存在最大值,请求出的最大值.(参考数据,【解答】解:(1),,,,,,;故答案为:,;(2)过点作于,作,交的延长线于,如图所示:则,,,,,,,,,,,,点到的距离为;(3),,为的中点,,,的面积梯形的面积的面积的面积,即是的二次函数,,有最大值,当时,有最大值为.例1.如图,是正方形的对角线,,边在其所在的直线上平移,将通过平移得到的线段记为,

4、连接、,并过点作,垂足为,连接、.(1)请直接写出线段在平移过程中,四边形是什么四边形?(2)请判断、之间的数量关系和位置关系,并加以证明;(3)在平移变换过程中,设,,求与之间的函数关系式,并求出的最大值.【解答】(1)四边形为平行四边形;(2),,理由如下:四边形是正方形,,,,,,,在和中,,,,,;(3)如图,过作于.①如图1,当点在点右侧时,则,,,即,又,当时,有最大值为2;②如图2,当点在点左侧时,则,,,即,又,当时,有最大值为;综上所述,当时,有最大值为2.例1.如图,在平面直角坐标系中,为原点,四边形是矩形,点,的坐标分别是和,,点是对角线上一动点(不与,重合

5、),连结,作,交轴于点,以线段,为邻边作矩形.(1)填空:点的坐标为 , ;(2)是否存在这样的点,使得是等腰三角形?若存在,请求出的长度;若不存在,请说明理由;(3)①求证:;②设,矩形的面积为,求关于的函数关系式(可利用①的结论),并求出的最小值.【解答】解:(1)四边形是矩形,,,,,.故答案为,.(2)存在.理由如下:,,,,①如图1中,当在线段上时,是等腰三角形,观察图象可知,只有,,,是等边三角形,,在中,,,,.当时,是等腰三角形.②如图2中,当在的延长线上时,是等腰三角形,只有,,,,综上所述,满足条件的的值为2或.(3)①如图1,过点作交于,交于,和,,直线的解

6、析式为,设,,,,,,,,.②如图2中,作于.在中,,,,,,在中,,,矩形的面积为,即,,,时,有最小值.例1.已知,,,斜边,将绕点顺时针旋转,如图1,连接.(1)填空: 60 ;(2)如图1,连接,作,垂足为,求的长度;(3)如图2,点,同时从点出发,在边上运动,沿路径匀速运动,沿路径匀速运动,当两点相遇时运动停止,已知点的运动速度为1.5单位秒,点的运动速度为1单位秒,设运动时间为秒,的面积为,求当为何值时取得最大值?最大值为多少?【解答】解:(1)由旋转性质可知:,,是等边三角形,.故答案为60.(2)如图1中,,,,,,是等边三角形,,,,.(3)①当时,在上运动,在

7、上运动,此时过点作且交于点.则,,.时,有最大值,最大值.②当时,在上运动,在上运动.作于.则,,.当时,取最大值,,③当时,、都在上运动,作于.,,,当时,有最大值,最大值,综上所述,有最大值,最大值为.

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