“旋转”的数学竞赛题

《“旋转”的数学竞赛题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、“旋转”求解的数学竞赛题我们知道，将图形F绕定点O旋转一个定角，得到图形F，这种图形变换叫旋转变换。旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；并且对应线段相等，对应角相等；任意两条对应线段的夹角等于旋转角。“中心对称”是旋转的一个特殊情形──旋转角为180°的旋转。利用旋转变换的手段解题的方法叫做旋转变换法。其基本做法是把图形的一部分(如某个三角形)作旋转变换，使条件与结论之间的联系更加明显和集中，辅助线的添加更为自然。实际运用时的关键是确定哪个图形绕哪个点旋转和旋转多少度，从而正确运用旋转变换的性质解题。

2、下面举例说明用旋转变换法解数学竞赛题的方法。例1(1992年北京初二竞赛题)如图1，五边形ABCDE中，∠B=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=1，求这个五边形的面积。分析：求多边形的面积一般通过画对角线转化为几个三角形，但此题连结AC、AD后得到的三个三角形面积不容易直接求出。考虑到AB=AE，∠B=∠AED=90°，可把△ABC旋转到△ADE下方，从而将原五边形剪拼成新图形。解：如图2，连结AC、AD，再将△ABC绕点A旋转至△AEF，由于AB=AE，∠B=∠AED=90°，故点D、E、F在同一直

3、线上，且DF=DE+EF=DE+BC=1=CD。又因AF=AC，所以△AFD可由△ACD关于直线AD轴反射得到。所以，S=S=DF·AE=。故五边形ABCDE的面积为+=1。评点：当有公共端点的两条线段相等时，可把其中一条线段(或以此线段为边的三角形)绕这个端点旋转至另一条线段，同时还常常利用两个直角或互补的角相接构成平角。例2(四川省初中数学竞赛题)如图3，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF。若BE=12，CF=5，求：①△BDE与△DCF的面积

4、之和；②△DEF的面积。4分析：连结AD，即可发现△DCF与△DAE全等，把△DCF旋转到△DAE，于是△DCF就与△BDE“凑”在一起了。解：连结AD，由于D是等腰直角三角形斜边BC的中点，所以AD=BD=DC，且AD⊥BC，又DE⊥DF，所以∠ADE=∠CDF(同为∠ADF的余角)，又∠EAD=∠C=45°，故△DCF≌△DAE。从而△DCF绕D点按逆时针方向旋转90°，就得到△DAE。于是DE=DF，AE=CF=5，又由AB=AC有AF=BE=12，AB=AC=5+12=17。所以△BDE与△DCF的面积之和

5、=△BDE与△DAE的面积之和=△ABD的面积=△ABC面积的一半=××17×17=72(平方单位)。EF==13，则等腰直角三角形DEF斜边EF上的高为EF=。因此△DEF的面积=·EF·EF=(平方单位)。评点：如果两个全等三角形有公共顶点，则相互之间可旋转重合，从而将图形进行有目的的割补。例3(1996年北京初二复试题)如图5，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC。证明：BD=AB+BC。分析：由于结论的形式与勾股定理的结论相似，故应设法构成直角三角形，使其三边为BD、AB、BC

6、的长。因∠ADC=60°，AD=DC，所以可将△DAB绕D点顺时针旋转60°，再由角度推证直角三角形。解：如图6，将△DAB绕D点顺时针旋转60°，得到△DCE，且DE=DB，CE=AB。连结BE。∵∠BDE=60°，DE=DB，∴△BDE是等边三角形，∴BE=BD。4∵∠DCE+∠DCB=∠DAB+∠DCB=360°-∠ADC-∠ABC=270°，∴∠BCE=360°-(∠DCE+∠DCB)=90°。∴在Rt△BCE中，有BE=CE+BC，即BD=AB+BC。评点：此题有多种旋转方法，如将△DCB绕D点逆时针旋转

7、60°，或绕C点顺时针旋转60°等等。请同学们做下面的练习：1、如图7，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB。若四边形ABCD的面积为18，则DP=。2、如图8，P为等边△ABC内一点，∠APB=113°，∠APC=123°，求以AP、BP、CP为边构成的三角形各内角的度数。参考答案：1、如图9，∵∠ADC=90°，AD=CD，∴将△DAP绕点D逆时针旋转90°，得到△DCQ。在四边形ABCD中，∵∠ADC+∠ABC=2×90°=180°，∴∠A+∠DCB=360°-180°=18

8、0°，∴∠DCQ+∠DCB=180°，∴点Q、C、B在一条直线上。由∠DPB=∠B=∠Q=90°，DP=DQ，可知四边形DPBQ是正方形。∴DP=。2、如图10，将△CPA绕C点逆时针旋转60°到△CQB的位置，连结PQ，则CP=CQ，AP=BQ，且∠PCQ=60°，所以△CPQ为等边三角形。所以△BPQ是以AP、BP、CP为边构成的三角形。△BPQ各内角的