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《函数奇偶性和周期性知识要点》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、知识要点: 一、函数的奇偶性 1.定义:对于函数f(x),如果对于定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)为奇函数; 对于函数f(x),如果对于定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)为偶函数; 2.性质: (1)函数依据奇偶性分类可分为:奇函数非偶函数,偶函数非奇函数,既奇且偶函数,非奇非偶函数; (2)f(x),g(x)的定义域为D; (3)图象特点:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于原点对称; (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件,奇函数f(x)在原点处有定义,则
2、有f(0)=0; (5)任意一个定义域关于原点对称的函数f(x)总可以表示为一个奇函数与偶函数的和的形式:f(x)=g(x)+h(x),其中g(x)=-[f(x)+f(-x)]为偶函数,h(x)=-[f(x)-f(-x)]为奇函数; (6)奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性。 3.判断方法: (1)定义法 (2)等价形式:f(-x)+f(x)=0,f(x)为奇函数; f(-x)-f(x)=0,f(x)为偶函数。 4.拓展延伸: (1)一般地,对于函数y=f(x),定义域内每一个自变量
3、x,都有f(a+x)=2b-f(a-x),则y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称; (2)一般地,对于函数y=f(x),定义域内每一个自变量x都有f(a+x)=f(a-x),则它的图象关于x=a成轴对称。 二、周期性: 1.定义:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当自变量x取定义域内的每一个值时,都有f(x)=f(x+T)成立,那么就称函数y=f(x)为周期函数。 2.图象特点: 将函数y=f(x)的图象向左(右)平移的整数倍个单位,所得的函数图象与函数y=f(x)的图象重合。 3.函数图象的对称性与周期性的关系:
4、 (1)若对于函数y=f(x)定义域内任意一个x都有f(a+x)=f(a-x)且f(b+x)=f(b-x),(a、b不相等的常数)则函数为周期函数。(周期为:2
5、a-b
6、) (2)若对于函数y=f(x)定义域内任意一个x都有f(a+x)=-f(a-x)且f(b+x)=-f(b-x),(a、b不相等的常数)则函数为周期函数。(周期为:2
7、a-b
8、) (3)若对于函数y=f(x)定义域内任意一个x都有f(a+x)=-f(a-x)且f(b+x)=f(b-x),(a、b不相等的常数)则函数为周期函数。(周期为:4
9、a-b
10、) 典型例题 例1:判断下
11、列函数的奇偶性: (1)f(x)=(x-1)·■ 解:函数的定义域为x∈{x
12、-1≤x<1} 函数f(x)=(x-1)·■为∴f(x)非奇非偶函数 (2)f(x)=loga(-x+-) 解:x∈R f(-x)=loga(x+- =loga- =-loga(-x+-)=-f(x) ∴f(x)为奇函数 (3)f(x)=x·(-+-) 解:x∈{x∈R
13、x≠0} f(-x)-f(x)=-x(-+-)-x(-+-) =-x(-+-+1)=0 ∴f(x)为偶函数 (4)f(x)=- 解:1+cosx+sinx≠0 sin(x+
14、-)≠--,x∈{x
15、x≠2k-且x≠2k--,k∈R} 定义域不关于原点对称,∴f(x)为非奇非偶函数 说明: 1.判断函数的奇偶性首先要检验定义域是否关于原点对称。特别应注意,求解定义域时,不能化简解析式后再求解。 2.在判断是否有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立时,必要时可使用等价变形形式:f(-x)±f(x)=0 例2:(1)已知:f(x)是奇函数,且x>0时f(x)=x
16、x-2
17、 求x<0的解析式 解:设x<0,则-x>0 -, 说明:1.利用函数的奇偶性求解析式,要将自变量x设在所求的范围内。 2.转化
18、带入利用定义构造方程。 (2)定义在R上的奇函数f(x)且满足f(3+x)=f(3-x),若x∈(0,3),f(x)=2x 求:当x∈(-6,-3)时,f(x)的解析式。 解:x∈(-6,-3)-x∈(3,6),6-(-x)∈(0,3) - ∴f(x)=-2x+6 说明:1.合理分解题意是关键。 2.此题还可以应用周期性进行求解。 例3:已知:函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x) (1)求证:f(x)为周期函数; (2)若f(x)为奇函数,且当0≤x≤1时,f(x)=-x,求使得f(x)=--的所有x。 (1
19、)解:- ∴f(x)=f(x+4) f(x)为周期是4的周期函数。 (2)解:x∈[-1,0],-x∈