论文椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用.doc

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1、椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用江西省上犹中学刘鹏关键词：椭圆焦点弦弦长公式应用摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即或者，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：，如果记住公式，可以给我们解题带来方便.下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用.解法一：根据弦长公式直接带入解决.题：设椭圆方程为，左右焦点分别为，直线l过椭圆的右焦点交椭圆于两点，求弦长.椭圆方程可化为……①，直线l过右焦点，则可以假设直线为：(斜率不存在即为时)，代入①得：，整理得，∴，

2、∴∴（1）若直线l的倾斜角为，且不为,则，则有：,由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为……②.（2）若，则，带入,得通径长为，同样满足②式.并且由,当且仅当即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为，故可知通径是最短的焦点弦，.综上，焦点弦长公式为.解法二：根据余弦定理解决题：设椭圆方程为，左右焦点分别为，直线l过椭圆的右焦点交椭圆于两点，求弦长.解：如右图所示，连结，设，假设直线的倾斜角为，则由椭圆定义可得，在中，由余弦定理得，化简可得，在中，由余弦定理同理可得，则弦长.解法三：利用焦半径公式解决题：设椭圆方程为，左右焦点分别为，直线l过椭圆的右焦点交椭圆于两点，求弦长.解：由解法一

3、知.由椭圆的第二定义可得焦半径公式，那么故后面分析同解法一.解法四：利用仿射性解决题：设椭圆方程为，左右焦点分别为，直线l过椭圆的右焦点交椭圆于两点，求弦长.解：利用仿射性，可做如下变换，则原椭圆变为，这是一个以原点为圆心，为半径的圆.假设原直线的斜率为，则变换后斜率为.椭圆中弦长，经过变换后变为，带入，得变换前后弦长关系为……③而我们知道圆的弦长可以用垂径定理求得.如图所示，假设直线为，圆心到直线的距离为，根据半径为，勾股定理求得弦长为，将此结果带入③中，得，由，带入得.上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为：，记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下

4、面我们举例说明.例1已知椭圆，过椭圆焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，求.分析：如果直接用弦长公式解决，因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解.解：由题，,带入得.例2已知点在椭圆：上，过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若是椭圆经过原点的弦，且，,试判断是否为定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.分析：因为过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单.解：（1）由题知，将点带入得，又，解得，故椭圆方程为.（2）假设，则，设倾斜角为，则，根据过焦点的弦长公式则，故.例3如图，已知椭圆的左右焦点为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭

5、圆于两点，交于点(在轴下方)，且，求四边形的面积的最大值.分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成的点在圆内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值.解：假设的倾斜角为,则的倾斜角为，由椭圆的焦点弦长公式得：,，,设设，则,带入得即,此时，即，得到.综上，四边形的最大值为.此时，得到的倾斜角为,刚好两直线关于轴对称，如右图所示.