中央电大《经济数学基础》课件.ppt

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1、导数的计算经济数学基础1.4.1函数连续性的概念相应的函数的改变量(增量):函数的终值与初值之差称为自变量的改变量,记为1.改变量(增量):函数的连续性0当自变量由初值变化到终值时,终值与初值之差称为自变量的改变量,记为定义1:设函数在点的某邻域内有定义,当自变量在点处有增量时,相应的函数有增量,如果当自变量的增量趋于零时,函数的增量也趋于零,即则称函数在点处连续,点称为函数的连续点2.连续若记,则,且当时,故定义1又可叙述为注:定义2:设函数y=f(x)在点的某邻域内有定义,若有,则称函数y=f(x)在点处连续.(1)定义1与定义2是等价的,即由左右极限定义可定义

2、左右连续定义(2)由定义2可知若函数在点处连续,则函数在点处的极限一定存在,反之不一定连续(3)当函数在点处连续时,求时,只需求出即可定义3:若函数满足,则称函数在点处左连续。同理可以定义右连续3、左右连续4、区间连续定义4:若函数在(a,b)内每一点都连续,则称函数在(a,b)内连续。由定理3可知:函数在点处连续既左连续又右连续即证明y=sinx在内连续例1证对任意有因为所以故在内连续定义5若函数y=f(x)在(a,b)内每一点都连续,且在左端点a处右连续,在右端点b处左连续,则称函数y=f(x)在[a,b]上连续。1.4.2函数的间断点及其分类则一定满足以下条件

3、如果f(x)在点不能满足以上任何一个条件,则点是函数的间断点。1.可去间断点:如果函数在点的极限存在,但不等于,即则称为的可去间断点。例2解所以x=1为可去间断点重新定义新的函数:则x=1成为函数的连续点2.跳跃间断点:例3所以x=1为跳跃间断点左右极限存在不相等当时,函数值不断地在两点之间跳动,左右极限均不存在3.无穷间断点f(x)在点的左、右极限至少有一个是无穷大,则称为f(x)的无穷间断点例4x=0为无穷间断点4.振荡间断点例5x=0是其振荡间断点间断点的类型:第一类间断点:我们把左右极限都存在的间断点称为第一类间断点.第二类间断点:除第一类以外的间断点,即左

4、右极限至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点.例6解函数在x=-1,x=0,x=1处没有定义所以x=-1,x=0,x=1是函数的间断点所以x=-1是函数的无穷间断点所以x=0是函数的跳跃间断点(Ⅰ)(Ⅱ)所以x=1是函数的可去间断点解分界点为x=1,x=2(i)当x=1时所以x=1是函数的跳跃间断点(Ⅲ)例7(ii)讨论x=2而f(2)=5所以x=2是函数的连续的点因此,分段函数的分界点是可能间断点设函数y=f(u)在点处连续,u=f(x)在点处连续,且,则复合函数在点处连续.1.4.3初等函数的连续性定理1单调连续函数的反函数在其对应区间上也是单调连续函数。设f

5、(x),g(x)均在点处连续,则也在处连续因此,基本初等函数在其定义域内连续.定理2定理3即:因此,一切初等函数在其定义区间内连续.2.1.1引出导数概念的实例例1平面曲线的切线斜率曲线的图像如图所示,在曲线上任取两点和,作割线,割线的斜率为2.1导数的概念这里为割线MN的倾角,设是切线MT的倾角,当时,点N沿曲线趋于点M。若上式的极限存在,记为k,则此极限值k就是所求切线MT的斜率,即当趋向于0时,如果极限设某产品的总成本C是产量Q的函数,即C=C(Q),当产量Q从变到时,总成本相应地改变量为当产量从变到时,总成本的平均变化率存在,则称此极限是产量为时总成本的变化

6、率。例2产品总成本的变化率定义设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义,属于该邻域,记若存在,则称其极限值为y=f(x)在点x0处的导数,记为或2.1.2导数的概念三、导数的几何意义当自变量从变化到时,曲线y=f(x)上的点由变到此时为割线两端点M0,M的横坐标之差,而则为M0,M的纵坐标之差,所以即为过M0,M两点的割线的斜率.M0M曲线y=f(x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲线y=f(x)无限接近时的极限位置M0P,因而当时,割线斜率的极限值就是切线的斜率.即:所以,导数的几何意义是曲线y=f(x)在点M0(x0,f(x0))处的切线斜率.M0M设函数y

7、=f(x)在点处可导,则曲线y=f(x)在点处的切线方程为:而当时,曲线在的切线方程为(即法线平行y轴).当时,曲线在的法线方程为而当时,曲线在的法线方程为例3求函数的导数解:(1)求增量:(2)算比值:(3)取极限:同理可得:特别地,.例4求曲线在点处的切线与法线方程.解:因为,由导数几何意义,曲线在点的切线与法线的斜率分别为:于是所求的切线方程为:即法线方程为:即设函数u(x)与v(x)在点x处均可导,则:定理一2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则2.2导数的运算特别地,如果可得公式注:法则(1)(2)均可推广到有限多个可导函数的情形例:设u=u(x),

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