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1、影响单摆振动周期的参数研究龚善初(广东揭阳学院机电工程系,广东揭阳522000)摘要:应用振动分析的方法,研究了单摆的周期受摆角、摆球的线度、地球纬度、摆球离地面的高度、介质黏度和介质密度参数的影响;作出了周期比随参数变化的曲线.结果表明:单摆的周期随摆角、摆球的线度、摆球离地面的高度、介质黏度和介质密度的增大而增大,随地球纬度的增大而减小.关键词:单摆;周期;参数;影响中图分类号:O313文献标识码:A文章编号:100020712(2006)0620012204单摆是大学物理中的一个理想物理模型[1],在摆角很小(θ<5°)时,无阻尼单摆作谐振动,其振动周期与摆角及摆的质量无关
2、.然而在实际应用中,由于介质阻力、浮力、地球纬度、摆球的线度、摆球离地面的高度等参数的影响,振动周期会发生变化.本文将对上述影响单摆振动周期的参数逐一进行分析,并应用Maple作图[2],得出振动周期随各参数的变化曲线.为便于作图,将式(3)中的θ0弧度化为角度,并取0°≤θ0≤90°,则R1随摆角θ0的变化曲线如图1所示.1摆角对单摆周期的影响摆长为l的单摆作有限振动时,其运动方程为···θ+ω2sinθ=0,θ(0)=θ,θ(0)=0(1)00图1R1随摆角θ0的变化曲线由图1可知,周期比R1随摆角θ0的增大而增式中ω2=g为单摆在振幅(即摆角)θ<5°时,无阻0lπ尼单摆作
3、简谐振动的角频率.其振动周期T0=2大.ω0摆球线度对单摆周期的影响在讨论摆球线度对单摆周期的影响时,处理摆长通常是悬挂点到摆球质心的距离,设悬挂点到摆球质心的距离为l,摆线的质量忽略不计,摆球的质量为m,半径为r,忽略摆球摆动引起的l的变化,按复摆公式计算时[4],该摆动装置对固定点的转动2l.式(1)是非线性微分方程,它的精确解是=2πg第一类完全椭圆积分[3],利用积分法可求得πφ4d2ω0∫0T1=(2)1-sin2θ0sin2φ2sin2θ0sin2φ当<1时,利用二项式定理将被积函惯量为ml2+2mr2,则单摆周期为25数展开成幂级数,再逐项积分,取前4项得非线性振l
4、2+2r2T15动周期T1与谐振动周期T0的比R1=T0,为T2=2π(4)glθ211θ4173θ6000将式(4)化简得R1=1+16+3072+737280(3)收稿日期:2005-09-16;修回日期:2006-02-27作者简介:龚善初(1964—),男,湖南常德人,揭阳学院机电工程系副教授,主要从事力学教学与研究工作1教学讨论9.7803m·s-2,则在考虑了地球纬度时单摆的周期2l·1+2rT2=2π(5)g5lT31T31与T0的周期比R31=为T0当rν1时,将式(5)对r展开成Taylor级数,取前ll1R31=1+0.0053025sin2θ+0.00000
5、7sin22θ=4项得2461+111rrr11+0.0053025sin2θ+0.000007sin22θ-2T2=2π-+550l250ll(9)将式(9)中的θ弧度化为角度,并取地球纬度θ从地球赤道到北极(南极),即0°≤θ≤90°,则R31随地(6)T2周期比R2=T0为246θR2=1+111球纬度的变化曲线如图3所示.rrr-+(7)550250lll为便于作图,取l=1.0m,0≤r≤0.05m,则R2随摆球半径r的变化曲线如图2所示.图3R31随地球纬度θ的变化曲线3.2物体离地面的高度对单摆周期的影响图2R2随摆球半径r的变化曲线设摆球离地球表面的高度为h,由万
6、有引力公m地m式知,mgh=G,则Gm地(R+h)2由图2可知,周期比R2随摆球半径r的增大而增大.-2m地hgh=G==g1+(R+h)22Rh2R1+R3重力加速度对单摆周期的影响重力加速度不仅和地球的纬度有关,还和物体(10)则在考虑了物体离地面的高度时单摆的周期T32与离地面的高度有关.下面分别讨论地球的纬度和物体离地面的高度对单摆周期的影响.3.1地球纬度对单摆周期的影响我们知道,由于地球的自转,物体所受的重力与地球对物体的引力不但大小不相等(除物体在两极外),而且方向也不一致(除物体在两极或在赤道外),因此重力加速度随地球纬度的变化而变化.设单摆装置所在地的纬度为θ,
7、根据近代大地测量,重力加速度gθ与地球纬度θ的关系有如下的经验公式[5]:gθ=9.78030(1+0.0053025sin2θ+T32T0的周期比R32=T0为hR32=1+R(11)为便于作图,取地球平均半径R为6380km,物体离地面的高度0≤h≤10km,则R32随离地面的高度h的变化曲线如图4所示.由图3可知,周期比R31随地球纬度θ的增大而减小.在地球赤道上,地球纬度θ=0°,重力加速度gθ最小,周期比R31最大;在地球两极,地球纬度θ=90°.重力加速度gθ最大,周
