浅谈用设元法解题

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浅谈用设元法解题摘要: 设元法是数学中的一种创新的解题方法。在数学解题中可以运用数值设元、整体设元、部分设元、比值设元、均值设元、共轭设元等设元法去解题,达到事半功倍,培养学生的创造性意识和创新思维。关键词: 设元法 解题方法 数值 整体 部分 比值 均值 共轭 创造性意识 创新思维设元是常用来解题的方法,设元法也是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。通过设元可以沟通条件和结论之间的联系,为开辟解题途径架起桥梁。我们通常把所设的未知数称为元,所谓设元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,设原式中的某一个部分为一个新的元,然后把这个元代入原来的式子中,使之简化,再进行计算,这样就会使问题容易解决。设元法的内涵十分丰富,没有完全固定的模式可以套用,它是以广泛具体的普遍性与现实问题的特殊性为基础,针对具体问题的特点而采取相应的设元方法来解决。许多同学在解题过程中,习惯于按常规方法进行推理、计算,而不能灵活运用设元法。我们可以启发学生根据题目的结构和特征,展开丰富的联想拓宽自己的思维范围,巧妙地运用设元法来解题,这样就可以培养学生创造性意识和创新思维,同时对学生的解题能力也有所提高。一 、 适当运用数值设元,提高学生的解题能力。我们经常遇到一类问题,很难直接通过推理和演算得到答案,而需要另外找一条捷径,适当设元,代入后计算,方能得解,这样就能提高学生的解题能力。例 1 计算:(1+)716151??)716151()817161511 ()81716151(????????????解:设=,则原式=(1+)(+x,716151??xxxx)811 ()81??? =89818922????xxx =81这题如果采用常规算法则显然麻烦又容易出错,但是通过数值设元,把数的运算转化成式的运算,这样解题就显得简单、便捷。二、 巧妙运用整体设元,培养学生的思维能力。 整体思想是一种重要的数学思想。有些数学问题,可以从整体形式、整体结构考虑,适当设元,就可以顺利简便的解题,培养学生的思维能力。例 2 设 x、y 为实数,那么的最小值是多少?yxxxyx222????解:设=myxyxyx222???? 将等式整理成关于 x 为主元的二次方程,得、y、m 均为实数xQ 第 2 页 共 5 页121, 00, 11144) 1(316340)2(4) 1(222222??????????????????????????????有最小值有最小值,即代数式时,故当时,有当即yxyxyxmyxxymmyyymmyyy 上一题要直接求出所求式的值很困难,故可采取整体设元,巧妙地运用判别式来解决, 思路就显得非常简捷。三、灵活运用部分设元,培养学生的创新能力。有时我们可通过部分设元的方法来解题,训练学生的发散思维,谋求最佳的途径,达到思维的创新,从而培养学生的创新能力。例 3 求方程的解。3)3(22??? xx解:设,则愿方程可化为方程组:32?? xy x=y ① 32?y=x ②32?①- ②可得(x-y)(x+y+1)=001, 0??????yxyx或于是原方程可以化为以下两个方程组: x-y=0 x+y+1=0y=x 或 y=x 32?32?解得:. 2, 1,2131,21314321???????xxxx本题通过部分设元,把解方程转化成解方程组,为解题开辟了新的空间,同时也培养了学生的创新能力。四、合理使用比值设元,培养学生的探究能力。比值设元这种方法在解题过程中是经常运用的一种方法,有些方程组中给出了几个未知数的比值关系,这时我们可以通过他们之间的比例系数来重新设一个未知数,本来有几个未知数的方程组,然后通过关系换算,把方程组转化成我们熟悉的一元一次方程来解,从而培养学生的探究能力。例 4 解方程组: 第 3 页 共 5 页 ①32?yx ②43?zx ③23???zyx解:由①得 x:y=6:9 由②得 x:z=6:8 8:9:6::??zyx 设 x=6k,y=9k,z=8k 代入③得 6k+9k+8k=23 1??k 原方程的解是:? x=6,y=9,z=8本题通过比值设元,达到了减元、消元的目的,这样就能很快求出方程组的解来。五、偶尔使用均值设元,提高学生的判断能力。在某些问题中,已知两个未知量的和,这时可将这两个未知量用它们的均值和一个新的变量来表示,从而使计算化繁为简,我们称这种方法为均值设元法,运用这种方法可以提高学生的判断能力。例 5 已知实数满足求的值。cba、、, 9, 52?????babcbacba32 ??解:由设代入得, 5??bambma????25,25, 92???babc,92542522?????mmc整理,得,0)21(22??? mc,21; 0????mc于是可得 , 3, 2??ba.832????cba本题如采用常规解法,很难奏效,而采用均值设元,把不定方程组转化成不定方程,再利用非负实数的性质,使题目很巧妙地得到解决。均值设元实际上是设元思想的一种具体运用,它利用了两个量的平均值和一个字母,沟通了原来两个量之间的关系,这样就能够简便计算。六、巧用共轭设元,培养学生的自主能力。 第 4 页 共 5 页在有些数学题目中,有带多重根号的计算,并且这些带多重根号的式子中含有共轭关系的,我们可以通过共轭设元来化简,去掉多重根号,就会很快算出结果,从而培养学生的自主能力。例 6 计算的值。7575???解:设,,75??x75??y,,752??x752??y,47575?????xy ,142)(222??????yxyxyx即=.5353???14本题通过共轭设元为解题找到了捷径,这比用常规解法显得更加简便。在数学解题中,用设元法解题不仅是解应用题的常用方法,而且还是解代数式和方程(组)中常用的一种方法,它的用法非常广泛,还常常能使一些代数式和方程(组)简单化。在数学解题过程中要善于观察式子的特点,敢于创新,善于运用设元法去解题,这样就会达到事半功倍的效果,既提高了学生的解题能力,又培养了学生的创造性意识和创新思维。 参考文献:(1) 、十三院校协编组 《中学数学教材教法》 高等教育出版社出版 1981 年 12 月出版(2)、王林全 林国泰主编 《中学数学思想方法概论》 暨南大学出版社 2003 年 3 月出版 第 5 页 共 5 页
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