湖北省武汉市江岸区2014-2015学年九年级上学期期中数学试卷【解析版】

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掌门 1 对 1 教育 初中数学湖北省武汉市江岸区湖北省武汉市江岸区 2015 届九年级上学期期中数学试卷届九年级上学期期中数学试卷一、选择题(一、选择题(10 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 30 分)分)1. (3 分)一元二次方程 x2=x 的根为()A.0B.1C.0 或 1D.0 或﹣1[来源:学科网 ZXXK]2. (3 分)下列图形中,为中心对称图形的是()A.B.C.D.3. (3 分)若 x1,x2是一元二次方程 x2﹣2x﹣3=0 的两个根,则 x1+x2的值是()A.2B.﹣2C.3D.﹣34. (3 分)下列正多边形中,绕其中心旋转 72°后,能和自身重合的是()A.正方形B.正五边形C.正六边形D.正八边形5. (3 分)如图,⊙O 中,半径 OC⊥弦 AB,∠BAC=20°,则∠AOC 的度数是()A.30°B.40°C.50°D.60°6. (3 分)抛物线 y=﹣x2+2x+6 在直线 y=﹣2 上截得的线段长度为()A.2B.3C.4D.67. (3 分)下列抛物线中,与 x 轴无公共点的是()A.y=x2﹣2B.y=x2+4x+4C.y=﹣x2+3x+2D.y=x2﹣x+2 8. (3 分)将二次函数 y=(x﹣1)2﹣3 的图象沿 x 轴翻折,所得图象的函数表达式为()A.y=﹣(x﹣1)2+3B.y=(x+1)2﹣3C.y=﹣(x+1)2﹣3D.y=(x﹣1)2+39. (3 分)已知二次函数 y=ax2+bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如下表:则下列判断中正确的是()x…﹣1 013…y…﹣3 131…A.抛物线开口向上B.抛物线与 y 轴交于负半轴C.当 x=4 时,y>0D.方程 ax2+bx+c=0 的正根在 3 与 4 之间10. (3 分)如图,等边△ABC 的边长为 1,D、E 两点分别在边 AB、AC 上,CE=DE,则线段 CE的最小值为()A.2﹣B.2﹣3C.D.二、填空题(二、填空题(6 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 18 分)分)11. (3 分)点(﹣2,7)关于原点的对称点为.12. (3 分)关于 x 的一元二次方程 mx2+4x+2=0 有实数根,则 m 的取值范围是.13. (3 分)在半径为 4 的圆中,40°的圆周角所对的弧长为.[来源:Z_xx_k.Com]14. (3 分)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在 l 时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,水面宽 4m.如图建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是. 15. (3 分)如图,∠AOB=30°,P 点在∠AOB 内部,M 点在射线 OA 上,将线段 PM 绕 P 点逆时针旋转 90°,M 点恰好落在 OB 上的 N 点(OM>ON) ,若 PM=,ON=8,则 OM=.16. (3 分)二次函数 y=的函数图象如图,点 A0位于坐标原点,点 A1,A2,A3…A2015 在 y轴的正半轴上,点 B1,B2,B3…B2015在二次函数位于第一象限的图象上,△A0B1A1,△A1B2A2,△A2B3A3…△A2014B2015A2015都为等边三角形,则△A2014B2015A2015的边长为.三、解答题(三、解答题(9 小题,共小题,共 72 分)分)17. (6 分)解方程:x2﹣4x﹣7=0.18. (6 分)李师傅去年开了一家商店,将每个月的盈亏情况都作了记录.今年 1 月份开始盈利,2月份盈利 2000 元,4 月份盈利恰好 2880 元,若每月盈利的平均增长率都相同,试求这个平均增长率.19. (6 分)如图,△ABC 内接于⊙O,AB=AC,D 在弧 AB 上,连 CD 交 AB 于点 E,B 是弧 CD的中点,求证:∠B=∠BEC. 20. (7 分)如图所示的正方形网格中,△ABC 的顶点均在格点上,在所给平面直角坐标系中解答下列问题:(1)将△ABC 绕 A 点逆时针旋转 90°至△AB1C1,画出旋转后的△AB1C1;(2)画出△ABC 关于原点成中心对称的△A2B2C2;(3)过 A、C、C1三点作⊙P,请直接写出点 A2与⊙P 的位置关系.21. (7 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣(k+2)x+2k=0(k 为常数) .(1)求证:无论 k 取何实数,该方程总有实数根;(2)若该方程的两根互为倒数,求该方程的两根.22. (8 分)△ABC 中,AB=AC,(1)如图 1,以 AC 为直径的⊙M 交 BC,作 DE⊥AB 于 E,求证:DE 是⊙M 的切线.(2)如图 2,⊙O 为△ABC 的外接圆,若 E 是 AB 的中点,连 OE,OE= ,BC=4,求⊙O 的半径. 23. (10 分)某商店销售一种商品,通过记录,发现该商品从开始销售至销售的第 x 天结束时(x为整数)的总销量 y(件)满足 二次函数关系,销量情况记录如下表:x0123y058112162(1)求 y 与 x 之间的函数关系式(不需要写自变量的取值范围) ;(2)求:销售到第几天结束时,该商品全部售完?(3)若第 m 天的销量为 22 件,求 m 的值.24. (10 分)如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=BC=4,动点 P 从 A 点出发,以每秒个单位的速度沿 AB 向 B 点匀速运动,同时 Q 点从 B 点出发,以每秒 1 个单位的速度沿 BC 向 C 点匀速运动,设运动时间为 t 秒,0<t<4.(1)将线段 PQ 绕 P 点逆时针旋转 90°至 PF,作 QG∥AB 交 AC 于 G.①如图 1,当 t=1时,求证:GQ=AP+GF;②如图 2,当 2<t<4 时,则线段:GQ、AP、GF 之间有怎样的数量关系,证明你的结论;(2)若以 PQ 为直径的圆与 AC 相切,直接写出 t 的值为.25. (12 分)已知抛物线 y=x2﹣2ax+a2﹣2 的顶点为 A,P 点在该抛物线的对称轴上,且在 A 点上方,PA=3.(1)求 A、P 点的坐标(用含 a 的代数式表示) ; (2)点 Q 在抛物线上,求线段 PQ 的最小值;(3)若直线 y=x+a﹣2 与该抛物线交于 B、C 两点,M 点是线段 BC 的中点.当 a 的值在某范围内变化时,M 点的运动轨迹是一条直线的一部分,请求出该直线的解析式,并写出自变量的取值范围.湖北省武汉市江岸区湖北省武汉市江岸区 2015 届九年级上学期期中数学试卷届九年级上学期期中数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题(一、选择题(10 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 30 分)分)1. (3 分)一元二次方程 x2=x 的根为()A.0B.1C.0 或 1D.0 或﹣1考点:解一元二次方程-因式分解法. 分析:先移项,再两边都除以 3,分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.解答:解:x2=x,x2﹣x=0,x(x﹣1)=0,∴x=0 或 x=1,故选 C.点评:本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法.因式分解法就是先把方程的右边化为 0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为 0,这就能得到两个一元一次方程的解.2. (3 分)下列图形中,为中心对称图形的是() A.B.C.D.考点:中心对称图形. 分析:根据中心对称的定义,结合所给图形即可作出判断.解答:解:A、不是中心对称图形,故本选 项错误;B、是中心对称图形,故本选项正确;C、不是中心对称图形,故本选项错误;D、不是中心对称图形,故本选项错误;故选:B.点评:本题考查了中心对称图形的特点,属于基础题,判断中心对称图形的关键是旋转 180°后能够重合.[来源:学科网]3. (3 分)若 x1,x2是一元二次方程 x2﹣2x﹣3=0 的两个根,则 x1+x2的值是()A.2B.﹣2C.3D.﹣3考点:根与系数的关系. 专题:方程思想.分析:根据一元二次方程的根与系数的关系 x1+x2=﹣ 可以直接求得 x1+x2的值.解答:解:∵一元二次方程 x2﹣2x﹣3=0 的一次项系数是 a=1,二次项系数 b=2,∴由韦达定理,得x1+x2=2.故选 A.点评:此题主要考查了根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.4. (3 分)下列正多边形中,绕其中心旋转 72°后,能和自身重合的是()A.正方形B.正五边形C.正六边形D.正八边形考点:旋转对称图形. 分析:求出各个选项图形的最小旋转角度,即可做出判断.解答:解:A、正方形的最小旋转角度为 90°,故本选项错误; B、正五边形的最小旋转角度为=72°,故本选项正确;C、正六边形的最小旋转角度为=60°,故本选项错误;D、正八边形的最小旋转角度为=45°,故本选项错误;故选 B.点评:本题考查了旋转对称图形的知识,解答本题的关键是求出各图形的最小旋转角度.5. (3 分)如图,⊙O 中,半径 OC⊥弦 AB,∠BAC=20°,则∠AOC 的度数是()A.30°B.40°C.50°D.60°考点:圆周角定理;垂径定理. 专题:计算题.分析:先根据垂径定理得到=,再根据圆周角定理得∠AOC=2∠BAC,然后把∠BAC=20°代入计算即可.解答:解:∵半径 OC⊥弦 AB,∴=,∴∠AOC=2∠BAC=2×20°=40°.故选 B.点评:本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了垂径定理.6. (3 分)抛物线 y=﹣x2+2x+6 在直线 y=﹣2 上截得的线段长度为()A.2B.3C.4D.6考点:二次函数的性质. 分析:求得抛物线与直线的交点坐标后即可求得截得的线段的长.解答:解:由题意得:,解得:x=﹣2 或 x=4, 故在直线 y=﹣2 上截得的线段的长为 4﹣(﹣2)=4+2=6,故选 D.点评:本题考查了抛物线与直线的交点,要熟悉二次函数与一元二次方程的关系.7. (3 分)下列抛物线中,与 x 轴无公共点的是()A.y=x2﹣2B.y=x2+4x+4C.y=﹣x2+3x+2D.y=x2﹣x+2考点:抛物线与 x 轴的交点. 分析:运用“二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点个数与系数的关系:当 b2﹣4ac<0 时,无交点”求解即可.解答:解:A、△=0+8=8>0,该抛物线与 x 轴有 2 个交点,故本选项错误;B、△=16﹣4×1×4=0,该抛物线与 x 轴有 1 个交点,故本选项错误;C、△=9+8=17>0,该抛物线与 x 轴有 2 个交点,故本选项错误;D、△=1﹣8=﹣7<0,该抛物线与 x 轴没有交点,故本选项正确;故选:D.点评:此题考查了二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点个数与系数的关系,解题时要细心.8. (3 分)将二次函数 y=(x﹣1)2﹣3 的图象沿 x 轴翻折,所得图象的函数表达式为()A.y=﹣(x﹣1)2+3B.y=(x+1)2﹣3C.y=﹣(x+1)2﹣3D.y=(x﹣1)2+3考点:二次函数图象与几何变换. 分析:直接根据平面直角坐标系中,点关于 x 轴对称的特点得出答案.解答:解:二次函数 y=(x﹣1)2﹣3 的图象沿 x 轴翻折,所得图象的函数表达式为﹣y=(x﹣1)2﹣3,即 y=﹣(x﹣1)2+3.故选 A.点评:本题考查根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式,明确关于 x 轴翻折得到的图象与原图象关于 x 轴对称是解题的关键.9. (3 分)已知二次函数 y=ax2+bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如下表:则下列判断中正确的是()x…﹣1 013…y…﹣3 131…A.抛物线开口向上B.抛物线与 y 轴交于负半轴C.当 x=4 时,y>0 D.方程 ax2+bx+c=0 的正根在 3 与 4 之间考点:待定系数法求二次函数解析式;二次函数的性质. 专题:图表型.分析:根据题意列出方程组,求出二次函数的解析式;根据二次函数的性质及与一元二次方程的关系解答即可.解答:解:由题意可得,解得,故二次函数的解析式为 y=﹣x2+3x+1.因为 a=﹣1<0,故抛物线开口向下;又∵c=1>0,∴抛物线与 y 轴交于正半轴;当 x=4 时,y=﹣16+12+1=﹣3<0;故 A,B,C 错误;方程 ax2+bx+c=0 可化为﹣x2+3x+1=0,△=32﹣4×(﹣1)×1=13,故方程的根为 x=== ±,故其正根为 +≈1.5+1.8=3.3,3<3.3<4,故选:D.点评:本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法,同时还考查了方程组的解法,及二次函数与一元二次方程的关系等知识,难度不大.10. (3 分)如图,等边△ABC 的边长为 1,D、E 两点分别在边 AB、AC 上,CE=DE,则线段 CE的最小值为()A.2﹣B.2﹣3C.D. 考点:垂线段最短;等边三角形的性质;勾股定理. 分析:利用垂线段最短的性质结合锐角三角函数关系以及等边三角形的性质求出即可.解答:解:如图所示:当 ED⊥AB 此时 DE=EC 最短,设 EC=DE=x,则 AE=1﹣x,∵△ABC 是等边三角形,∴∠A=60°,则 sin60°===,解得:x=2﹣3.故选:B.点评:此题主要考查了垂线段最短以及锐角三角函数关系以及等边三角形的性质,熟练应用锐角三角函数关系是解题关键.二、填空题(二、填空题(6 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 18 分)分)11. (3 分)点(﹣2,7)关于原点的对称点为(2,﹣7) .考点:关于原点对称的点的坐标. 分析:利用两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点 P(x,y)关于原点 O 的对称点是 P′(﹣x,﹣y) ,进而得出答案.解答:解:点(﹣2,7)关于原点的对称点为(2,﹣7) .故答案为:(2,﹣7) .点评:此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点,正确掌握相关性质是解题关键.12. (3 分)关于 x 的一元二次方程 mx2+4x+2=0 有实数根,则 m 的取值范围是 m≤2 且 m≠0.考点:根的判别式;一元二次方程的定义. 专题:计算题.分析:根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 m≠0 且△=(﹣4)2﹣4m?2≥0,然后求出两不等式的公共部分即可.解答:解:根据题意得 m≠0 且△=(﹣4)2﹣4m?2≥0, 解得 m≤2 且 m≠0.故答案为 m≤2 且 m≠0.点评:本题考查了一元二次方程根的判别式(△=b2﹣4ac):一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac 有如下关系:当△>0 时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=0 时,方程有两个相等的两个实数根;当△<0 时,方程无实数根.也考查了一元二次方程的定义.13. (3 分)在半径为 4 的圆中,40°的圆周角所对的弧长为.考点:弧长的计算. 分析:直接利用弧长公式计算得出即可.解答:解:40°的圆周角所对的弧长为:=.故答案为:.点评:此题主要考查了弧长公式的应用,正确记忆弧长公式是解题关键.14. (3 分)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在 l 时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,水面宽 4m.如图建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是 y=﹣.考点:根据实际问题列二次函数关系式. 分析:设出抛物线方程 y=ax2(a≠0)代入坐标求得 a.解答:解:设出抛物线方程 y=ax2(a≠0) ,由图象可知该图象经过(﹣2,﹣2)点,故﹣2=4a,a=﹣ ,故 y=﹣.点评:本题主要考查二次函数的应用,借助二次函数解决实际问题.15. (3 分)如图,∠AOB=30°,P 点在∠AOB 内部,M 点在射线 OA 上,将线段 PM 绕 P 点逆时针旋转 90°,M 点恰好落在 OB 上的 N 点(OM>ON) ,若 PM=,ON=8,则 OM=4+2. 考点:旋转的性质. 专题:计算题.分析:连结 MN,作 NH⊥OA 于 H,如图,根据旋转的性质得∠MPN=90°,PN=PM=,可判断△PMN 为等腰直角三角形,则 MN=PM=2,在 Rt△OHN 中,根据含 30 度的直角三角形三边的关系得 NH= ON=4,OH=NH=4,然后在 Rt△MNH 中根据勾股定理计算出 MH=2,由此得到 OM=OH+HM=4+2.解答:解:连结 MN,作 NH⊥OA 于 H,如图,∵线段 PM 绕 P 点逆时针旋转 90°,M 点恰好落在 OB 上的 N 点,∴∠MPN=90°,PN=PM=,∴△PMN 为等腰直角三角形,∴MN=PM=2,在 Rt△OHN 中,∵∠NOH=30°,ON=8,∴NH= ON=4,OH=NH=4,在 Rt△MNH 中,∵NH=4,MN=2,∴MH==2,∴OM=OH+HM=4+2.故答案为 4+2.点评:本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了等腰直角三角形的性质和含 30 度的直角三角形三边的关系. 16. (3 分)二次函数 y=的函数图象如图,点 A0位于坐标原点,点 A1,A2,A3…A2015 在 y轴的正半轴上,点 B1,B2,B3…B2015在二次函数位于第一象限的图象上,△A0B1A1,△A1B2A2,△A2B3A3…△A2014B2015A2015都为等边三角形,则△A2014B2015A2015的边长为 2015.考点:二次函数图象上点的坐标特征;等边三角形的性质. 专题:规律型.分析:根据等边三角形的性质可得∠A1A0B1=60°,然后表示出 A0B1的解析式,与二次函数解析式联立求出点 B1的坐标,再根据等边三角形的性质求出 A0A1,同理表示出 A1B2的解析式,与二次函数解析式联立求出点 B2的坐标,再根据等边三角形的性质求出 A1A2,同理求出 B3的坐标,然后求出 A2A3,从而得到等边三角形的边长为从 1 开始的连续自然数,与三角形所在的序数相等.解答:解:∵△A0B1A1是等边三角形,∴∠A1A0B1=60°,∴A0B1的解析式为 y=x,联立,解得,(为原点,舍去) ,∴点 B1(, ) ,∴等边△A0B1A1的边长为 ×2=1,同理,A1B2的解析式为 y=x+1, 联立,解得,(在第二象限,舍去) ,∴B2(,2) ,∴等边△A1B2A2的边长 A1A2=2×(2﹣1)=2,同理可求出 B3(, ) ,所以,等边△A2B3A3的边长 A2A3=2×( ﹣1﹣2)=3,…,以此类推,系列等边三角形的边长为从 1 开始的连续自然数,△A2014B2015A2015的边长 A2014A2015=2015.故答案为:2015.点评:本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,等边三角形的性质,主要利用了联立两函数解析式求交点坐标,根据点 B 系列的坐标求出等边三角形的边长并且发现系列等边三角形的边长为从 1 开始的连续自然数是解题的关键.三、解答题(三、解答题(9 小题,共小题,共 72 分)分)17. (6 分)解方程:x2﹣4x﹣7=0.考点:解一元二次方程-配方法;解一元一次方程. 专题:计算题.分析:移项后配方得出 x2﹣4x+4=7+4,推出(x﹣2)2=11,开方后得出方程 x﹣2=±,求出方程的解即可.[来源:学科网]解答:解:移项得:x2﹣4x=7,配方得:x2﹣4x+4=7+4,即(x﹣2)2=11,开方得:x﹣2=±,∴原方程的解是:x1=2+,x2=2﹣.点评:本题考查了解一元一次方程和用配方法解一元二次方程的应用,关键是配方后得出(x﹣2)2=11,题目比较典型,难度适中. 18. (6 分)李师傅去年开了一家商店,将每个月的盈亏情况都作了记录.今年 1 月份开始盈利,2月份盈利 2000 元,4 月份盈利恰好 2880 元,若每月盈利的平均增长率都相同,试求这个平均增长率.考点:一元二次方程的应用. 专题:增长率问题.分析:设这个平均增长率为 x,根据等量关系:2 月份盈利额×(1+增长率)2=4 月份的盈利额列出方程求解即可.[来源:学科网]解答:解:设这个平均增长率为 x,根据题意得:2000(1+x)2=2880,解得:x1=20%,x2=﹣2.2(舍去) .答:这个平均增长率为 20%.点评:此题主要考查了一元二次方程的应用,属于增长率的问题,一般公式为原来的量×(1±x)2=后来的量,其中增长用+,减少用﹣,难度一般.[来源:学,科,网 Z,X,X,K]19. (6 分)如图,△ABC 内接于⊙O,AB=AC,D 在弧 AB 上,连 CD 交 AB 于点 E,B 是弧 CD的中点,求证:∠B=∠BEC.考点:圆周角定理;圆心角、弧、弦的关系. 专题:证明题.分析:由 B 是弧 CD 的中点,根据等弧所对的圆周角相等可得∠BCE=∠BAC,即可得∠BEC=∠ACB,然后由等腰三角形的性质,证得结论.解答:证明:∵B 是弧 CD 的中点,∴=,∴∠BCE=∠BAC,∵∠BEC=180°﹣∠B﹣∠BCE,∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B,∴∠BEC=∠ACB,∵AB=AC,∴∠B=∠ACB, ∴∠B=∠BEC.点评:此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.20. (7 分)如图所示的正方形网格中,△ABC 的顶点均在格点上,在所给平面直角坐标系中解答下列问题:(1)将△ABC 绕 A 点逆时针旋转 90°至△AB1C1,画出旋转后的△AB1C1;(2)画出△ABC 关于原点成中心对称的△A2B2C2;(3)过 A、C、C1三点作⊙P,请直接写出点 A2与⊙P 的位置关系.考点:作图-旋转变换. [来源:Z§xx§k.Com]专题:作图题.分析:(1)根据旋转三要素,找到各点的对应点,顺次连接可得△AB1C1;(2)找到 A、B、C 三点关于原点的对称点,顺次连接可得△A2B2C2;(3)此圆的圆心是线段 CC1的中点,作出圆即可做出判断.解答:解:(1) (2) (3)如图所示:点 A2在⊙上. 点评:本题考查了旋转作图的知识,解答本题的关键是仔细审题,找到旋转三要素.21. (7 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣(k+2)x+2k=0(k 为常数) .(1)求证:无论 k 取何实数,该方程总有实数根;(2)若该方程的两根互为倒数,求该方程的两根.考点:根的判别式;根与系数的关系. 专题:计算题.分析:(1)先计算判别式的值得到△=(k﹣2)2,然后根据非负数的性质得△≥0,则根据判别式的意义得到结论;(2)根据根与系数的关系得到 2k=1,解得 k= ,原方程变形为 x2﹣ x+1=0,整理得2x2﹣5x+2=0,然后利用因式分解法解方程.解答:(1)证明:∵△=(k+2)2﹣4×2k=k2﹣4k+4=(k﹣2)2≥0,∴无论 k 取何实数,该方程总有实数根;(2)解:根据题意得 2k=1,解得 k= ,原方程变形为 x2﹣ x+1=0,整理得 2x2﹣5x+2=0,(2x﹣1) (x﹣2)=0,解得 x1= ,x2=2.点评:本题考查了一元二次方程根的判别式(△=b2﹣4ac):一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac 有如下关系:当△>0 时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=0 时,方程有两个相等的两个实数根;当△<0 时,方程无实数根.也考查了根与系数的关系. 22. (8 分)△ABC 中,AB=AC,(1)如图 1,以 AC 为直径的⊙M 交 BC,作 DE⊥AB 于 E,求证:DE 是⊙M 的切线.(2)如图 2,⊙O 为△ABC 的外接圆,若 E 是 AB 的中点,连 OE,OE= ,BC=4,求⊙O 的半径.考点:切线的判定. 分析:(1)连接 MD,运用圆的性质证明 DM∥AB,进而证明 DE⊥DM 即可解决问题;(2)如图,作辅助线,运用等腰三角形的性质及三角形的面积公式证明 AE=,进而运用勾股定理即可解决问题.解答:证明:(1)连接 DM,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵MD=MC,∴∠MDC=∠C,∴∠B=∠MDC,∴DM∥AB,∠MDE=∠BED,∵DE⊥AB,∴∠BED=90°,∴∠MDE=90°,即 DE⊥DM,∴DE 是⊙O 的切线;(2)连接 OB、OC,OA,AO 的延长线交 BC 于点 D;∵AB=AC,∴点 A 在 BC 的垂直平分线上,同理:由 OB=OC 知, 点 O 在 BC 的垂直平分线上,∴AO 垂直平分 BC,∴BD=CD=;∵,,∴,∵AB=2AE,BD=2,OE= ,∴AE=;由题意知:OE⊥AB,根据勾股定:AO2=AE2+OE2,即,解得:R=,即⊙O 的半径为.点评:该命题以圆和等腰三角形为载体,以切线的判定为考查的核心构造而成;同时还渗透了对等腰三角形的性质、三角形的面积公式、勾股定理的应用等几何知识点的考查.23. (10 分)某商店销售一种商品,通过记录,发现该商品从开始销售至销售的第 x 天结束时(x为整数)的总销量 y(件)满足二次函数关系,销量情况记录如下表:x0123y058112162(1)求 y 与 x 之间的函数关系式(不需要写自变量的取值范围) ; (2)求:销售到第几天结束时,该商品全部售完?(3)若第 m 天的销量为 22 件,求 m 的值.考点:二次函数的应用. 分析:(1)根据表格得到两对 x、y 的值,代入二次函数的解析式即可确定 a、b 的值;(2)将得到的二次函数的解析式配方后即可确定最值,从而确定售完时间;[来源:学科网](3)代入总销量 22,从而得到有关 m 的方程,求得 m 的值即可.解答:解:(1)依题意,设 y=ax2+bx(a≠0) ,则,解得:.故 y 与 x 之间的函数关系式为 y=﹣2x2+60x.(2)y=﹣2(x﹣15)2+450,当 x=15,ymax=450.答:销售到第 15 天结束,全部售完.(3)当[﹣2(m﹣15)2+450]﹣[﹣2(m+15)2+450]=22 时,[来源:学§科§网 Z§X§X§K]化简得:(m﹣16)2﹣(m﹣15)2=11,解得:m=10.点评:本题考查了二次函数的应用,解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数的模型,难度不大.24. (10 分)如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=BC=4,动点 P 从 A 点出发,以每秒个单位的速度沿 AB 向 B 点匀速运动,同时 Q 点从 B 点出发,以每秒 1 个单位的速度沿 BC 向 C 点匀速运动,设运动时间为 t 秒,0<t<4.(1)将线段 PQ 绕 P 点逆时针旋转 90°至 PF,作 QG∥AB 交 AC 于 G.①如图 1,当 t=1 时,求证:GQ=AP+GF;②如图 2,当 2<t<4 时,则线段:GQ、AP、GF 之间有怎样的数量关系,证明你的结论;(2)若以 PQ 为直径的圆与 AC 相切,直接写出 t 的值为 . 考点:圆的综合题. 分析:(1)①连接 PG,过点 P 作 PH⊥PG 交 QG 于点 H,可证得四边形 PBQG和四边形 APHG者是平行四边形,可证得△PQH≌△PFG,得 QH=FG,代入可得结论;②同①可得 GQ=HG+QH=AP+GF;(2)设圆心为 M,与 AC 相切于点 I,交 BC 于另一点为 J,连接 MI、PJ、BG、PG,则可知PQ=2MI=BC=4,在 Rt△PQJ 中,PJ=4﹣t,QJ=4﹣2t,利用勾股定理可求得 t.解答:解:(1)①如图 1,连接 PG,过点 P 作 PH⊥PG 交 QG 于点 H,当 t=1 时,BQ=1,AP=,则 BP=3,CQ=CG=3,∴BP=QG=3,∴四边形 PBQG 为平行四边形,同理可知四边形 APHG 也是平行四边形,又由旋转可知 PQ=PF,在△PQH 和△PFG 中,,∴△PQH≌△PFG(SAS) ,∴QH=FG,∴GQ=HG+QH=AP+GF; ②如图 2,连接 PG,过点 P 作 PH⊥PG 交 QG 于点 H,同①可证明四边形 PBQG 和四边形 APHG 都是平行四边形,同理可证△PQH≌△PFG(SAS) ,∴QH=FG,∴AP=HG=HQ+QG=GF+GQ;(2)如图 3,设圆心为 M,与 AC 相切于点 I,交 BC 于另一点为 J,连接 MI、PJ、BG、PG,则可知 PQ=2MI=BC=4,在 Rt△PQJ 中,PJ=4﹣t,QJ=4﹣2t,则(4﹣t)2+(4﹣2t)2=42,解得 t= 或 4,又∵0<t<4,∴t= ,故答案为: .点评:本题主要考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、切线的性质等知识的综合应用,在(1)通过作辅助线,构造三角形全等并利用线段的相等进行转化是解题的关键,在 (2)中作出与 AC 相切的圆后找到相应的线段,用 t 表示出其长,化动为静是这类问题的常用思路,注意 t 值的范围.25. (12 分)已知抛物线 y=x2﹣2ax+a2﹣2 的顶点为 A,P 点在该抛物线的对称轴上,且在 A 点上方,PA=3.(1)求 A、P 点的坐标(用含 a 的代数式表示) ;(2)点 Q 在抛物线上,求线段 PQ 的最小值;(3)若直线 y=x+a﹣2 与该抛物线交于 B、C 两点,M 点是线段 BC 的中点.当 a 的值在某范围内变化时,M 点的运动轨迹是一条直线的一部分,请求出该直线的解析式,并写出自变量的取值范围.考点:二次函数综合题. 分析:(1)把抛物线的解析式化成顶点式,即可得出顶点坐标,根据已知即可求得 P 的坐标;(2)设 Q(m, (m﹣a)2﹣2) ,根据勾股定理即可求得 PQ2=(m﹣a)2+[(m﹣a2)﹣3]2,令(m﹣a)2=n,得出 PQ2=(n﹣ )2+,即可求得 PQ 的最小值;(3)联立方程,即可得到 x2﹣(2a+1)x+a2﹣a=0,即可求得直线 y=x+a﹣2 与该抛物线交于 B、C两点的横坐标、纵坐标的和,进而求得中点 M 的坐标,由 M 的坐标即可得出点 M 在直线 y=2x﹣上,根据△=(2a+1)2﹣4(a2﹣a)>0,即可求得的取值,进而求得的取值,即直线 y=2x﹣的取值.解答:解:(1)∵抛物线 y=x2﹣2ax+a2﹣2,∴y=(x﹣a)2﹣2,∴A(a,﹣2) ,∵P 点在该抛物线的对称轴上,且在 A 点上方,PA=3.∴P(a,1) ;(2)∵点 Q 在抛物线 y=x2﹣2ax+a2﹣2 上,∴设 Q(m, (m﹣a)2﹣2) ,则 PQ2=(m﹣a)2+[(m﹣a2)﹣3]2 令(m﹣a)2=n,则 PQ2=n+(n﹣3)2=(n﹣ )2+,当 n= 时,PQ2最小,即 PQ 最小∴PQ 的最小值==;(3)由得 x2﹣(2a+1)x+a2﹣a=0∴x1+x2=2a+1∴y1+y2=x1+x2+2a﹣4=4a﹣3,∴M(,) ,设 M(x0,y0)∴x0=,y0=,∴y0=2x0﹣ ,∴点 M 在直线 y=2x﹣ 上又∵△=(2a+1)2﹣4(a2﹣a)>0,则 a>﹣ ,∴x0>[来源:学#科#网 Z#X#X#K]∴直线为 y=2x﹣ (x> ) .点评:本题是二次函数的综合题,考查了抛物线的顶点和对称轴,求得线段的中点坐标是(3)的重点和关键.
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