2010中考数学压轴题11

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1、二0一0年中考数学压轴题汇总十一1、（2010年江苏盐城，28，12分）已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点．（1）求这个函数关系式；（2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；（3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．AxyOB【分析】（1）根据根与系数的关系，可以得出函数y=ax2+x+1的图象与x

2、轴只有一个公共点则，△=1-4a=0，可以求出函数的解析式为：y=x+1或`y=x2+x+1.（2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x轴于点C．可得解析式为：y=x2+x+1.则顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点坐标为A（0，1），坐标为A（0，1），从而可以得到Rt△PCB∽Rt△BOA，可得PC=2BC，设P点的坐标为(x，y)，可求出x<-2。从而得出BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x，得到P点的坐标为(x，-4-2x)，代入关系式可求出P点的坐标为：(-10，16).（3）要求点M在不在抛物线y=ax2

3、+x+1上，可以代入使左边等于右边即可.【答案】解：（1）当a=0时，y=x+1，图象与x轴只有一个公共点………(1分)当a≠0时，△=1-4a=0，a=，此时，图象与x轴只有一个公共点．∴函数的解析式为：y=x+1或`y=x2+x+1……（3分）（2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x轴于点C．∵是二次函数，由（1）知该函数关系式为：y=x2+x+1，则顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点坐标为A（0，1）………（4分）∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B∴PB⊥AB则∠PBC=∠BAO∴Rt△PCB∽Rt△BOA∴，故PC

4、=2BC，…………………………（5分）设P点的坐标为(x，y)，∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，∴∠PBO是钝角，∴x<-2∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x，P点的坐标为(x，-4-2x)∵点P在二次函数y=x2+x+1的图象上，∴-4-2x=x2+x+1……（6分）解之得：x1=-2，x2=-10∵x<-2∴x=-10，∴P点的坐标为：(-10，16)……………（7分）（3）点M不在抛物线上………………（8分）由（2）知：C为圆与x轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD

5、的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ∴QE∥MD，QE=MD，QE⊥CE1-21AxyOBPMCQED∵CM⊥PB，QE⊥CEPC⊥x轴∴∠QCE=∠EQB=∠CPB∴tan∠QCE=tan∠EQB=tan∠CPB=CE=2QE=2×2BE=4BE，又CB=8，故BE=，QE=∴Q点的坐标为(-，)可求得M点的坐标为(，)…………………………………………………（11分）∵=≠∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线上……………………（12分）(其它解法，仿此得分)【涉及知识点】二次函数圆一次函数【点评】本题是二次函数与圆的经典综合题

6、，解答此类压轴题的关键是结合图形进行分析，将每一小题分别解答，有些题目可以通过猜想得到答案.2、（2010江苏扬州，28，12分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；（3）若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线E

7、F将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．【分析】问题(1),可利用勾股定理求出AB的长,然后利用面积相等确定CD的长,在Rt△ACD中,再一次利用勾股定理可求AD的长,或者利用相似三角形对应边成比例来求AD的长;问题(2),利用△AEF∽△ADC来确定y与x的函数关系式;问题(3),假设存在,由△AFG∽△ACD把问题转化成二次函数的问题进行求解.【答案】解：（1）∵AC=3，BC=4∴AB=5∵AC·BC=AB·CD，∴CD=，AD=（2）①当0＜x≤时∵EF∥CD∴△AEF∽△ADC∴

8、即EF=x∴y=·x·x=当＜x≤5时易得△BEF∽△BDC，同理可求EF=（5—x）∴y=·x·（5—x）=≤②当0＜x≤时，y随x的增大而增大.y=≤,即当x=时，y最大值为