北京市2012年高考数学 第20题优美解

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1、2012年高考数学（北京）第20题（理）试题优美解试题（北京、理科20）设是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于，且所有数的和为零.记为所有这样的数表组成的集合.对于，记为的第行各数之和（），为的第列各数之和（）；记为，，…，，，，…，中的最小值.（1）对如下数表，求的值；（2）设数表形如求的最大值；（3）给定正整数，对于所有的，求的最大值.解法解：（1）由题意可知，，，，∴（2）先用反证法证明：若则，∴同理可知，∴由题目所有数和为即∴与题目条件矛盾∴．易知当时，存在∴的最大值为1（3）的最大值为.首先构造满足的：，.经

2、计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且，，.下面证明是最大值.若不然，则存在一个数表，使得.由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中.由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于.设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则.另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负.考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的

3、绝对值不小于（即每个负数均不超过）.因此，故的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾.因此的最大值为。