2017-2018学年高中数学第二讲证明不等式的基本方法一比较法学案(含解析)新人教a版选

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1、比较法1.作差比较法(1)作差比较法的理论依据a—b>QUQb,日一ZKOOAZ?,a—b=O0a=b.(2)作差比较法解题的一般步骤:①作差;②变形整理,③判定符号,④得出结论.其中变形整理是解题的关键,变形整理的冃的是为了能够直接判定差与0的大小,常用的手段有因式分解、配方、通分、分子或分母有理化等.2.作商比较法(1)作商比较法的理论依据是不等式的基本性质:①z?>o,若;>1,则&>方;若fa则水山②ZK0,若扌>1,则臼〈方;若手1,则臼〉方.⑵作商比较法解题的一般步骤:①判定白,方的符号;②作商;③变形整理;④判定与1的人小关系;⑤得出结论.作差比较法证明不等式

2、设△初C的三边长分别是b,c,求证:4(ab+bc+ac)>(a+b+c)2.作差法证明,注意条件“在同一个三角形中,任意两边之和大于第三边”的应用.•・•日,b,c是△血农的三边长,/.«3>0,方>0,c>0,且6+q—日>0,c+日一b〉0,b—c>0.・*.4(c?Z?+bc+ac)—{a+b+c)2=2(ab+bc+ac)—{a+lJ+c)=(b+c~a)a+(c+曰一〃)b+(z?+Z?—c)c>0./.4{ab+bc+ac)>(臼+方+c)1[方法・规律•小结](1)作差比较法中,变形具有承上启下的作用,变形的目的在于判断差的符号,而不用考虑差能否化简或值是多

3、少.(2)变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形的方法.(3)因式分解是常用的变形手段,为了便于判断“差式”的符号,常将“差式”变形为一个常数或儿个因式积的形式,当所得的“差式”是某字母的二次三项式时,常用配方法判断符号.有时会遇到结果符号不能确定,这时候要对差式进行分类讨论.〃〃几盘.血*衬/>1.求证:/+//M2(日一方一1).证明:乳+川一2Q—方一1)=(臼一1尸+(方+1)2$0,.・./+方2$2(臼一方一1).2.已知白,方ER+,/7^X+,求证:(白+方)3+方")W2(盘"4+//如)・证明:・・・(曰+方

4、)3+仍一2(^+//如)=an+[+abf,+ba+bn+i-2an+i-2bn+1=日(力"一日")+b{a—br)=(a—Z?)(力"一R).①若日>力〉0时,U'—日"〈0,a—b>0,(a—6)(if1—a)<0.②若力〉爲〉0时,B'—臼"〉0,a—Z?<0.(a—力)(〃'一日")<0.③若曰=6〉0时,(&"—$")(白一方)=0.综上所述,对于/gR+,/?eN都有Q+b)3+Z/')W23+'+Z/^)・作商比较法证明不等式,7_

5、_山设曰〉0,方>0,求证:空(“)'门•不等式两端都是指数式,它们的值均为正数,可考虑用求商比较法.当a=b时,显然有(

6、诜一‘_1—b当曰>方〉0吋,;>1,=—>0,・・・由指数函数单调性,有饼尹1;..aa—b当小日〉0时,0勺〈1,-^―<0,・••由指数函数的单调性,有(沪尹1・z?_L综上可知,对任意实数日,b,都有詐23=-.[方法・规律・小结]当欲证的不等式两端是乘积形式或幕指数形式吋,常采用作筒比较法,用作商比较法吋,如果需要在不等式两边同乘某个数,要注意该数的正负,且最后结果与1比较.3.设日>力>0,求证:a~a—bcf+F>日+〃证明:法一:a—lia—b_7+^~7+b=a—b[a+b2—舟+甘]a+6a+b2aba—ba+fja+b>0,・••原不等式成立.法二:・

7、・・日">0,故/>方2>0.故不等式左边>0,不等式右边>0.•左边••右边a+b7+?9・小-=1+詁孑>1…••原不等式成立•4.如果方都是正数,且a=^b,求证a+lj>ab+ab证明:法一:•al/+abla+Z?Ja—a1j+I)aId—aId=7722_I_z2=2?2aba+bab〉2“方;"方=].又/+仔〉0,&芳+/卩>0,ab・:/+1}+/決法二:/+E—詐一心a'(孑一方2)+忙(力2—/)=&—F)Q1—方')=(/—方2)2(/+方2).・.・方,(a2—方2)2>0,/+方2〉0,($2—方2)2(/+方2)〉0比佼法的实际应用甲、乙二人

8、同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度刃行走,另一半时间以速度〃行走;乙有一半路程以速度刃行走,另一半路程以速度〃行走.如果刃工〃,问:甲、乙二人谁先到达指定地点?先用/〃,刀表示甲、乙两人走完全稈所用时间,再进行比较.设从出发地点至指定地点的路程为s,甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为儿t-i,依题意有:tts、2ssm+n••・'尸不,t2=—2^~2ss//?+/?"m+n2mns_4/ML加+/72]s加―刀'2/77/7m+n2mn/n+n°其中s,/〃,刀都是正数,且〃/H/?,/

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