mKdV_SineGordon方程的多孤子解.pdf

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1、2004,24A(3):257-264ActaMathematicaScientia数学物理学报mKdV-SineGordon方程的多孤子解X张大军邓淑芳陈登远(上海大学数学系上海200436)摘要:该文首先给出了mKdV-SineGordon方程的双线性形式和双线性B&acklund变换,然后利用Hirota方法、B&acklund变换方法和Wronskian技巧三种不同的方法分别得到mKdV-SineGordon方程的孤子解,最后验证了这三种解的一致性。关键词:孤子解;Hirota方法;B&acklund变换;Wronski行列式;m

2、KdV-SineGordon方程.MR(2000)主题分类:35Q53;37K40中图分类号:O175.24文献标识码:A文章编号:1003-3998(2004)03-257-08目前已有许多成功的方法用来寻求孤子方程的精确解,如:反散射变换方法、B&acklund[1]变换方法、Hirota方法、Wronskian技巧等等。1967年,Gardner、Greene、Kruskal和Miura首次提出了用反散射变换求解KdV方程。此方法现已成功地应用于许多孤子方程的精确求[2,3][4]解。除了此方法外还有一些直接的方法:例如Hirota

3、方法。在此方法中,首先引入位势u的一个变换,将原方程改写成双线性导数形式;其次将扰动展开式代入到双线性方程中,在一定的条件下该展开式可以截断;最后构造N-孤子解的表达式,但此表达式只是猜测而很难证明。B&acklund变换方法通常将求解高阶的微分方程转化为求解包含解之间关系的较低阶的微分方程组。利用此变换,可以从已知解出发,求出新的孤子解;又可进一步以新解作为已知解,求出更新解;周而复始。但该方法涉及到解微分方程组,往往在求多孤子解时[5]遇到麻烦。直到1974年,Hirota给出了一种B&acklund变换的双线性导数形式,使得求多孤子

4、解变得简单起来。另外一种直接的方法是Wronskian技巧,这是一种应用广泛且高效的方法,这得益于Wronski行列式本身良好的性质。孤子解可以表示成Wronski行列式,这种表示[6]首先由Satsuma在1979年引入。然而Satsuma本人并没有将解的这种表示与孤子方程的双线性形式联系起来。直到1983年,作为一种求解孤子方程的系统方法-Wronskian技巧-才[7-11]由Freeman和Nimmo提出并建立起来。该方法首先要得到孤子方程的双线性形式或双线性B&acklund变换,然后选择适当的

5、1,<2,*,

6、家自然科学基金(10371070)资助项目258数学物理学报Vol.24A可以表示三个不同的方程:sine-Gordon(SG)方程(A=0,B=1)uxt=sinu.(2)mKdV方程(A=1,B=0,ux=2v)2vt+vxxx+6vvx=0(3)[13]和一维原子格点(1DAG)方程(A=B=1)32uxt+(uxuxx+uxxxx)=sinu.(4)2文献[13]介绍了用反散射方法求解方程(1)。在本文中我们首先介绍了方程的双线性形式和双线性B&acklund变换的表达式,同时我们也给出了一般形式的B&acklund变换的表达式。

7、其次利用Hirota方法、双线性B&acklund变换方法和Wronskian技巧三种不同的方法得到三种不同[14]表达形式的解。最后我们利用最近陈登远等提出的方法证明这三种解的一致性。1方程的双线性形式和双线性B&acklund变换由变换fu=2iln,(5)f方程(1)可以写成双线性形式4122(DxDt+ADx)f#f-B(f-f)=0,(6a)22Dxf#f=0(6b)或2122fxtf-fxft+A(fxxxxf-4fxxxfx+3fxx)-B(f-f)=0,(7a)4fxxf-2fxfx+ffxx=0,(7b)其中f表示f的共

8、轭,D表示Hirota双线性算子mnmnDxDta#b=(5x-5xc)(5t-5tc)a(x,t)b(xc,tc)

9、xc=x,tc=t.(8)[5]下面我们利用Hirota方法给出方程(6)