含参数的一元二次不等式的解法与恒成立问题

含参数的一元二次不等式的解法与恒成立问题

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1、含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种:一、按兀2项的系数d的符号分类,即d>O,d=O,dvO;例1解不等式:o?+G+2k+i>o分析:本题二次项系数含有参数,△=@+2)2—4d=q2+4>(),故只需对二次项系数进行分类讨论。解:*/△=(a+2)2—4d=/+4>0・••当Q0时,解集为兀

2、兀>一_2+Vg^l或兀+42a2a当d=o时,不等式为2x+l>0,解集为L

3、x>-[例2解不等式ax2-5ax+6°>0(a工0)分析因为dHO,A>0,所以我们只要讨论二次项系数的正负。解ta(x2-5

4、兀+6)=a(x-2x-3)>0・••当g>0时,解集为xv2或兀>3};当gvO时,解集为{x

5、20;3^ax—(日+1)1〈0(已WR)2⑴当a<0W,{x

6、-

7、xv2}2(3)当0<°<1时,{兀

8、兀<2,或兀>土}(4)当a=l时3*2}2(5)当a>1时,{xx<—,或兀>2}二按判别式A的符号分类,即厶>O,A=O,AvO;例3解不等式兀2+0¥+4>0分析本题屮由于/的系数大于0,故只需考虑△与根的情况。解:*.*A=6

9、?2-16・••当c/g(-4,4)即AvO时,解集为R;当a=±4即△=()时,解集为xxeR且兀工纟.I2/—ci+vci~—16—//—"lci-—16当。〉4或qv-4即△>(),此时两根分别为坷=―~,显然坷〉兀2,不等式的解集为或x〈一a-y/a2-16>22✓例4解不等式(m2+l)x2—4兀+1nO(mgR)解因m2+l>0,A=(-4)2-4(m2+1)=4(3-m2)所以当m=±羽,即A=0时,解集为<兀

10、兀=*};当一V3<^()时,解集为xx>2+^~—^x

11、”-牛莎+1+1当m<-V3^m>V3,即△<()时,解集为R。变式:解关于兀的不等式:ar2+x+l<0⑴当d<0时,{x

12、x土也出}2a2a(2)当a=寸,{小<-1},勺、[“1u_lf.—1—J1—4。—1+Ji—4。(3)30

13、-时,①4三、按方程ax2+bx+c=0的根兀],兀2的大小来分类,即

14、根的人小即可。解:原不等式可化为:(x—°)(兀—丄)<0,令6/=-,可得:a=±laa・••当dV-l或0vqv1时,a<—,故原不等式的解集为;dIa]当a=1或g=-1时,a=—,可得其解集为a当一1vav0或a>1时,a>—,解集为

15、—0,心0分析此不等式△=(-5切2-24/=/>o,又不等式可分解为(x—2d)Cr—3d)〉0,故只需比较两根2a与3d的大小.解原不等式可化为:(兀—2°)(兀—3°)>0,对应方程(x-2ax-3a)=0的两根为%!

16、=2a,x2=3a,当aA0时,即2aY3d,解集为{兀

17、兀>3。或rv2a};当avO时,即2da3d,解集为{兀

18、兀>2°或兀<3可25497、若关于x的不等式(2%-1)2<^2的解集中的整数恰有3个,求实数曰的取值范围。(IvdV乍]916【解析】不等式可化为(4-a)y-4^+l<0①,由于原不等式的解集中的整数恰有3个,所以4-a>011111,j解得0V$V4,故由①得——<%<——,又丄V——<-,所以解集中的△=16—4(4—a)>02+临2-Vtz42+需2125493个整数必为^3'所以解得訂空花一题多解专题一

19、:一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题的两种解法(1)分离参数法•把所求参数与自变量分离,转化为求具体函数的最值问题.(2)不等式组法.借助二次函数的图象性质,列不等式组求解.取值范【韦I.例1.设函数/(x)=6TX2-2x4-2,对于满足1VXV4的一切X值,都有f(x)>0,求实数a的【解析】法一:当炉0时,/(x)=a(x一丄尸+2—丄,由xe(],4),f(x)>0得aa101<—<4十a或s/(丄)=2—丄>0aa->4a/(4)=16^-8+2>0所以1

20、——2°

21、,所以dn1或一vqv1,即a>—o、322a>—8/(1)=«-2+2>0/(4)=166/-8+2>0,解得ae0;当a=0时,f(兀)=—2兀+2,f(l)=0,f(4)=-6,.e.不合题意.综上可得,实数a的取值范围是。舟法

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