实变函数第五章作业讲解

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1、第五章习题3.设mE

2、/

3、>n,则limn-men=0□分析：采用e-N定义证明证明因为/(%)在£上可积，所以mE\/

4、=00]=0,即mE[f

5、>n]—>0(n—>g)。事实上，因为Ey=^]=^Ey>n=l>n]=)E(/

6、>«+ll即集列单调下降，mE(j/

7、>1]n=加创/

8、=oo]=0,HT8H由丨/(兀)I可积和绝对连续性，独0£>o,3^>0,使对VwuE,mev/,有由limmE[

9、f

10、>n]=0,川―>8m£(f>n=met)<6,所以由J

11、/（兀）

12、心<£，在匕上有n•men

13、/

14、(x)

15、tZx证明“=>”设/（兀）在E上可积,贝在E上也可积。当；1>1在E“上，n-l<

16、/(x)

17、=f(x)£.

18、/u)

19、^=S£.

20、/w

21、^+S£；f^dx8—OOM_l)吨+2冲证；n==0XlnlmEn+ZHImEn-Ln=/?=()z?=loocoYmEn~XmEn。因为E；是两两不交的E的子集,OOOO工mEn二加((JEn)-mE<

22、g/2=-齐=-88因此工迟<°°o—OOOO“<="因为Y叶mE”

23、/(兀)

24、dx+專.

25、/(兀)

26、力oo—co<工nmEn+工

27、〃-1"迟n==0oo—oo—ooZlnlmEn+工同吨+工mEnn==()/?=()co

28、积的充要条件为

29、/（別在［a,b］±R反常积分存在（可积），并且此吋成立证明1因为/(兀)在［4上］上/?反常积分存在(可积)，所以对任意的0

30、/(x)

31、在［d+£,b］上也R可积。于是由§2定理4得(7?)£j/(x)

32、dr=f［a+£j/(x)

33、dr.在上式两边令£T(),则(R)［

34、/(x)

35、d*£j/(x)如因此，f(x)在［ci,b上厶可积的充要条件为

36、/(兀)

37、在｛a,b上的反常积分存在，最后由§5定理7,有［讪f(x)dx=Lm厂(x)d*-_L厂gdx=(ze)£f+(x)djc-(/e)£/(x)dx=(R)^f(x)

38、dxo问题：阑爲/⑴处=心/⑴能的根据？证明2(受130页定理7证明启发)易知/(兀)是［Q,〃］上的可测函数(补充定义f(a)=+8)。事实上，令L■f(x),xea+—ybNZvW=1L]」N,xe[a,a+—),N从/(x)在s+丄上］上R可积,知/(X)在s+丄"上有界故厶可积，因NN而可测o由此可知fN(x)是［a,b］上的可测函数，所以f(x)=limfN(x)可“TOO测。任取一列单调减少的正数0—使T0。因为/(%)在［°+En,b］上7?可积，故fn(x)=Xa+en,h］(X)

39、/(兀)

40、在［讪上有界且可测,因而在［d,b］上厶可积，并且•L/QMzJg詁(皿=(/?)

41、［［九(兀皿=(/?)［：

42、/(x)a。(1)因为非负函数列｛.九｝在上增加地儿乎处处收敛到

43、.广

44、,因此由列维定理得，limffn｛x)dx=\f(x)dx.⑵〃T8J［a,b］J

45、“〃］所以由(1)与(2)式得故f(x)在［a,b上厶可积的充要条件为f(x)在［a,b上R反常积分存在。最后由§5定理7,有仁眇滋=・『(如-Lf(如=(R)fr(g-r(x)dx说明：丨/(劝

46、=广(兀)+广⑴，/(x)=rw-ru)问题：根据本题结论、111页的定理4及130页的定理7建立R积分与L积分的关系。3.设｛/„(%)｝为E上非负可积函数列，若lim£A(x)^=0,则Z,W=>0o

47、证明对Vcr>0,由九(x)no,得a]§£丿(兀)必t0,(nToo)即九⑴=0。4.设m£0。说明：184页4证过证明"由禺必T0(/?Too),知对Vcr>0,有（J1+（7mE1+

48、£（兀）（J1+CFI几（X）

49、>屯叫dxTOSToo）,E1+1/31所以mEn―>o（