2008年福建省高一数学竞赛试题

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1、---2008年福建省高一数学竞赛试题（考试时间：5月18日上午8：30—11：00）一、选择题（共5小题，每小题5分，满分25分）1、已知集合，若，则实数的取值范围是（）（A）（B）（C）（1，5）（D）[1，5]2、下列四个数中最大的一个数是（）（A）（B）（C）（D）3、把正方形ABCD沿对角线AC折起，当点D到平面ABC的距离最大时，直线BD和平面ABC所成角的大小为（）（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°4、若不等式对一切恒成立，则a的最小值为（）（A）–2（B）0（C）（D）5、两条直角边长分别是整数a和b（其中b<1

2、000），斜边长是b+1的直角三角形有（）（A）20个（B）21个（C）22个（D）43个二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）6、若关于x的不等式恰有唯一的解，则实数a的值是。7、已知函数（且），给出下列四个命题：（1）当且仅当时，为R上的偶函数；（2）当时，为R上的减函数；（3）当时，为R上的增函数；（4）若为R上的递增的奇函数，则或。其中正确命题的序号是。（把你认为正确命题的序号都填上）8、已知定义在上的函数满足：对一切正数x均有-------成立，且当时，，则。9、设点A、B、C是函数图像上三个不同的点，满足AB与x轴平行，△

3、ABC是面积为100的直角三角形，则点C的纵坐标为。10、一个棱长为a的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为。11、设x，y为非负整数，使得是5的倍数，是3的倍数，且，则的最小值为。12、正整数中，若任意三个都不能成为三角形的三边长，则的最小值是。三、解答题（共5小题，每小题12分，满分60分）13、已知圆C是正方形DEFG的外接圆（D、E、F、G按逆时针方向排列），其中E（2，1）、F（1，2）。（1）求圆C的方程；（2）若直线l与圆C相切，且交x轴正半轴于点A（a，0），交y轴正半轴于点B（0

4、，b）。①求证：；②当时，求△AOB面积的最小值。-------14、已知定义在R上的函数同时满足下列三个条件：（1）当时，；（2）；（3）对任意都有。设集合，。若集合A与B的交集非空，求实数a的取值范围。15、如图，在△ABC中，P、Q分别是边AB、AC上的点，且使得∠APC=∠AQB。分别过点P、Q作AB、AC的垂线，两垂线交于E点，且PE、QE分别与BQ、CP交于S、R。（1）证明：AE⊥BC；（2）证明：SB//BC。-------16、已知二次函数的图像过点（–1，–2），且对任意实数x，不等式恒成立。（1）求的解析式；（2）若，且

5、，求证：。17、设（n为正整数），若S的任意含有100个元素的子集中必定有两个数的差能被25整除，求n的最大值。----