2018高中数学第2章推理与证明章末复习提升练习苏教版

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1、第2章推理与证明1.归纳和类比都是合情推理,前者是由特殊到一般,部分到整体的推理,后者是由特殊到特殊的推理,但二者都能由已知推测未知,都能用于猜想,推理的结论不一定为真,有待进一步证明.2.演绎推理与合情推理不同,是由一般到特殊的推理,是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式,另一方面,合情推理与演绎推理又是相辅相成的,前者是后者的前提,后者论证前者的可靠性.3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法:综合法是从已知条件推导出结论的证明

2、方法;分析法是由结论追溯到条件的证明方法,在解决数学问题时,常把它们结合起来使用,间接证法的一种方法是反证法,反证法是从结论反面成立出发,推出矛盾的证明方法.题型一 归纳推理和类比推理归纳推理和类比推理是常用的合情推理,两种推理的结论“合情”但不一定“合理”,其正确性都有待严格证明.尽管如此,合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用.运用合情推理时,要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的.在解决问题时,可以先从观察入手,发现问题的特点,形成解决问题的初步思路,然后用归纳、类比的方法进行探索

3、、猜想,最后用逻辑推理方法进行验证.例1 观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=________.答案 123解析 记an+bn=f(n),则f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*,n≥3),则f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+

4、f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=123.所以a10+b10=123.跟踪演练1 给出下列三个类比结论:①(ab)n=anbn与(a+b)n类比,则有(a+b)n=an+bn;②loga(xy)=logax+logay与sin(α+β)类比,则有sin(α+β)=sinαsinβ;③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比,则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.其中正确结论的个数是________.答案 1解析 (a+b)n≠an+bn(n

5、≠1,a·b≠0),故①错误.sin(α+β)=sinαsinβ不恒成立.如α=30°,β=60°,sin90°=1,sin30°·sin60°=,故②错误.由向量的运算公式知③正确.题型二 直接证明综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题常用的思维方式.如果从解题的切入点的角度细分,直接证明方法可具体分为:比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等,应用综合法证明问题时,必须首先想到从哪里开始起步,分析法就可以帮助我们克服这种困难,在实际证明问题时,应当把分析法和综合法结

6、合起来使用.例2 已知a>0,求证:-≥a+-2.证明 要证-≥a+-2,只需证+2≥a++.∵a>0,故只需证2≥2,即a2++4+4≥a2+2++2+2,从而只需证2≥,只要证4≥2,即a2+≥2,而上述不等式显然成立,故原不等式成立.跟踪演练2 如图,在四面体B-ACD中,CB=CD,AD⊥BD,且E,F分别是AB,BD的中点,求证:(1)直线EF∥平面ACD;(2)平面EFC⊥平面BCD.证明 (1)要证直线EF∥平面ACD,只需证EF∥AD且EF⊄平面ACD.因为E,F分别是AB,BD的中点

7、,所以EF是△ABD的中位线,所以EF∥AD,所以直线EF∥平面ACD.(2)要证平面EFC⊥平面BCD,只需证BD⊥平面EFC,只需证因为所以EF⊥BD.又因为CB=CD,F为BD的中点,所以CF⊥BD.所以平面EFC⊥平面BCD.题型三 反证法如果一个命题的结论难以直接证明时,可以考虑反证法.通过反设结论,经过逻辑推理,得出矛盾,从而肯定原结论成立.反证法是高中数学的一种重要的证明方法,在不等式和立体几何的证明中经常用到,在高考题中也经常体现,它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要.

8、反证法主要证明:否定性、惟一性命题;至多、至少型问题;几何问题.例3 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点,若f(c)=0,且00.(1)证明:是函数f(x)的一个零点;(2)试用反证法证明>c.证明 (1)∵f(x)图象与x轴有两个不同的交点,∴f(x)=0有两个不等实根x1,x2,∵f(c)=0,∴x1=c是f(x)=0的根,又x1x2=,∴x2=(≠c),∴是f(x)=0的一个根.即是函

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