隐函数和参数函数的导数

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时间:2019-05-15

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1、一、隐函数的导数第三节隐函数和参数方程求导法由yf(x)表示的函数称为显函数.定义:由方程F(x,y)0所确定的函数yy(x)一、隐函数求导法称为隐函数.二、对数求导法F(x,y)0yf(x)隐函数的显化三、由参数方程所确定的函数的求导法33例如,xy10可确定显函数y1x四、由极坐标方程确定的函数的求导法问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?五、相关变化率问题上页下页上页下页x在方程F(x,y)0中,把y看成x例如yxeasiny0y52yx3x70的函数:yy(x),于是方程可看成可确定y是x的函数,但这些隐函数不能显化.关于x的恒等式:F

2、(x,y(x))0隐函数求导法则:两边对x求导,解出y.用函数求导法则直接对方程两边求导.x注意:左端求导时,要注意y是x的函数,具体地:因此需要应用复合函数求导法则.上页下页上页下页xy例2设曲线C的方程为x3y33xy,求过C上例1求由方程xyee0所确定的隐函数dydy点(3,3)的切线方程,并证明曲线C在该点的法y的导数,.dxdxx022导数与x,y线通过原点.解方程两边对x求导,都有关系!22dyxydy解方程两边对x求导,3x3yy3y3xyyxee0yx2dxdxy1.x33233(,)yx(,)dyey2222解得

3、y,由原方程知x0,y0,33dxxe所求切线方程为y(x)即xy30.x22dyey33dxx0xeyx01.具体数!法线方程为yx即yx,显然通过原点.y022上页下页上页下页1例3设arctanylnx2y2确定函数yy(x),注意:x求y.1.对于隐函数求导问题:就用隐函数xy122的求导方法,不必将隐函数变为显函解方程变形:arctanln(xy)x2数。方程两边对x求导:1yxy12x2yy2.隐函数的导数在某点处的值一定是22一个具体的数。yx2x2y212xyxyxyyyxy解得

4、x2y2x2y2xy上页下页上页下页二、对数求导法¡解决复杂显函数的求导问题注意(x1)3x1sinx由于有导数公式y,yx.观察函数2x(x4)ef(x)如何用简单的方法求它们的导数?(ln

5、f(x)

6、)(lnf(x))f(x)方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.因此,一般在对数求导法中可形式地直接-----对数求导法取对数,而不用先取绝对值,再取对数。适用范围:多个函数相乘、除、乘方、开方和v(x)幂指函数u(x)的情形.上页下页上页下页(x1)32x1设sinx求例4设y,求y.例5yx(x0),y.2x(x4)

7、e解等式两边取对数得解等式两边取对数得lnysinxlnxlnyln(x1)1ln(2x1)2ln(x4)x上式两边对x求导得311上式两边对x求导得ycosxlnxsinxy122yx11yx13(2x1)x4yy(cosxlnxsinx)x3y(x1)2x1[1221]sinxsinx2xx(cosxlnx)(x4)ex13(2x1)x4x上页下页上页下页2v(x)f(x)u(x)v(x)求幂指函数f(x)u(x)的导数v(x)v(x)1f(x)u(x)lnu(x)v(x)

8、v(x)u(x)u(x)v(x)lnu(x)方法一:f(x)e再应用复合函数求导法(链式法则)按指数函数求导公式按幂函数求导公式方法二:利用对数求导法(xsinx)xsinxlnxcosxsinxxsinx1lnf(x)v(x)lnu(x)f(x)v(x)u(x)v(x)lnu(x)f(x)u(x)上页下页上页下页1例6求方程(cosx)y(siny)x确定的隐函数例7求函数yexxsin(2x2)的导数。yy(x)的导数。解方程两边取对数,得1解方程两边取对数,得1x112lny[lne(lnxlnsin(2x))]ylncosxxl

9、nsiny2221112上式两边对x求导lnylnxlnsin(2x)2x48sinxcosyylncosxylnsinyxycosxsiny上式两边对x求导lnsinyytanxy11cos(2x2)4x解得ylncosxxcotyy2x24x8sin(2x2)上页下页上页下页xababxa例8设y(a0,b0,1)解得bxab2求y.11cos(2x)4xyy[

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