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1、第三章随机变量的数字特征1§2.1数学期望引例3.1.1数学期望的定义某射击运动员射击结果如下：101099988888则他的平均命中的环数为2若用X表示他射击时命中的环数，则X是一个随机变量，其分布律可表示为上面的可理解为以概率为权数的“加权”平均值我们称之为随机变量的“数学期望”或“均值”。3定义1离散型随机变量的数学期望.)().(,,.,2,1,}{111ååå¥=¥=¥=====kkkkkkkkkkkpxXEXEXpxpxkpxXPX即记为的数学期望的和为随机变量则称级数绝对收敛若级数的分布律为设离散型随机变量L4关于定
2、义的几点说明(3)随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同.(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正平均值,也称均值.(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.5试问哪个射手技术较好?例1谁的技术比较好?甲射手乙射手6故乙射手的技术比较好.解7例2泊松分布则有8例3袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取
3、出（取出后不放回），设在取出第一个合格品之前已取出的废品数为随机变量X,求E(X).X的可能取值为0，1，2，3.为求X的分布律，先求取前面这些可能值的概率，易知解9于是，得到X的分布律为：则有:X0123P0.7500.2040.0410.00510连续型随机变量数学期望的定义定义2数学期望简称期望，又称为均值。11例4均匀分布则结论均匀分布的数学期望位于区间的中点.12例5指数分布则某电子元件的寿命X服从参数为的指数分布(单位：小时),求这类电子元件的平均寿命.由已知,X的分布密度为解:13即这类电子元件的平均寿命为1000小
4、时.由得：指数分布是常用的“寿命分布”之一，由上述计算可知，若一个电子元件的寿命服从参数为的指数分布，则它的平均寿命为.14解例6设(X,Y)的联合分布律为15事实上，我们不需要先求关于X和Y的边缘分布律，可以直接由的联合分布律求X和Y的数学期望。161o当二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为时2o当二维连续型随机变量(X,Y)的概率函数为时17例7设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为求和解18问题的提出：设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望.那么应该如何计算
5、呢？3.1.2随机变量函数的数学期望19如何计算随机变量函数的数学期望?一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来.一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的.20那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？下面的基本公式指出，答案是肯定的.类似引入上述E(X)的推理，可得如下的基本公式:21定理1:设X是一个随机变量，Y=g(X)，则当X为离散型时,P(X=x
6、k)=pk;当X为连续型时,X的密度函数为f(x).推广到两个以上r.v的基本公式，见教材.22该公式的重要性在于:当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.23例8设随机变量X的分布律为X-1012P0.10.30.40.2，且，.试求：，解:利用定理1计算得：同理，24例9设随机变量X的分布密度为求:(1);(2)的数学期望.解:(1)(2)25例11设(X,Y)服从以点为顶点的三角形区域A上的均匀分布,试求函数的数学期望.解三角形区域A如图3-1,易知
7、A的面积为1，故图3-121yOxA26于是271.设C为常数,则有证2.设X是一个随机变量，k,b是常数,则有3.1.3数学期望的性质证设X的分布密度为，则283.设X、Y是任意两个随机变量，则证设的联合密度函数为,边缘概率密度分别为和,则294.设X、Y是相互独立的随机变量,则有推广推广若为相互独立的随机变量，则有30例12设随机变量的分布密度分别为(1)求(2)若设相互独立，求解(1)31(2)32(3)由相互独立，易得小结数学期望是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值
8、的真正的平均值.332.数学期望的性质34常见离散型随机变量的数学期望分布分布律E(X)(0-1)分布X~B(1,p)kkppkXP--==1)1(}{k=0,1p二项分布X~B(n,p)knkknppCkXP--==)1(}{k=0,1,2,…,
