高等数学--几何中的应用

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1、二、空间曲线的切线与法平面第六节一、一元向量值函数及其导数三、曲面的切平面与法线多元函数微分学的几何应用第九章一、一元向量值函数及其导数引例的向量方程对上的动点M,即是此方程确定映射,称此映射为一元向量的终点M的轨迹,值函数.要用向量值函数研究曲线的连续性和光滑性，就需要引进向量值函数的极限、连续和导数的概念.已知空间曲线的参数方程:此轨迹称为向量值函数的终端曲线.定义给定数集DR,称映射为一元向量值函数（简称向量值函数）,记为定义域自变量因变量向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、连续和导数密切相关,进行讨论.极限：连续：导数：严格定义见P90因此下面仅以n=3的情

2、形为代表向量值函数的导数运算法则:(P91)设是可导向量值函数,是可导函数,则C是常向量,c是任一常数,向量值函数导数的几何意义:在R3中,设的终端曲线为,切线的生成表示终端曲线在t0处的切向量,其指向与t的增长方向一致.,则设向量值函数导数的物理意义:设表示质点沿光滑曲线运动的位置向量,则有例1设速度向量：加速度向量：解例2设空间曲线的向量方程为求曲线上对应于解的点处的单位切向量.故所求单位切向量为其方向与t的增长方向一致另一与t的增长方向相反的单位切向量为=6例3一人悬挂在滑翔机上,受快速上升气流影响作螺求旋式上升,其位置向量为(1)滑翔机在任意时刻t的速度向量与加速度向量;

3、(2)滑翔机在任意时刻t的速率;(3)滑翔机的加速度与速度正交的时刻.解(1)(3)由即即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交.二、空间曲线的切线与法平面置.给定光滑曲线在点法式可建立曲线的法平面方程利用点M(x,y,z)处的切向量及法平面的法向量均为点向式可建立曲线的切线方程空间光滑曲线在点M处的为此点处割线的极限位切线过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.1.曲线方程为参数方程的情况因此曲线在点M处的则在点M的导向量为法平面方程给定光滑曲线为0,切线方程例4求曲线在点M(1,1,1)处的切线方程与法平面方程.解点(1,1,1)对应于故点M处的切向量为因此所求切线方程为

4、法平面方程为即思考:光滑曲线的切向量有何特点?答:切向量2.曲线为一般式的情况光滑曲线曲线上一点,且有可表示为处的切向量为则在点切线方程法平面方程有或例5求曲线在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.切线方程解法1令则即切向量法平面方程即解法2曲线在点M(1,–2,1)处有:切向量解得方程组两边对x求导,得切线方程即法平面方程即点M(1,–2,1)处的切向量三、曲面的切平面与法线设有光滑曲面通过其上定点对应点M,切线方程为不全为0.则在且点M的切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.此平面称为在该点的切平面.证在上,得令由于曲

5、线的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在.曲面在点M的法线方程切平面方程过M点且垂直于切平面的直线法向量:称为曲面在点M的法线.曲面时,则在点故当函数法线方程令当光滑曲面的方程为显式在点有连续偏导数时,切平面方程法向量特别,全微分的几何意法向量用将法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,复习例6求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解令所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程即法线方程法向量即(可见法线经过原点，即球心)例7确定正数使曲面在点二曲面在M点的法向量分别为二曲面在点M相切,故又点M在球面上,于是有相切.

6、与球面,因此有解1.空间曲线的切线与法平面切线方程法平面方程1)参数式情况.空间光滑曲线切向量内容小结切线方程法平面方程空间光滑曲线切向量2)一般式情况.空间光滑曲面法线方程1)隐式情况.切平面方程2.曲面的切平面与法线曲面在点的法向量空间光滑曲面切平面方程法线方程2)显式情况.法线的方向余弦法向量思考与练习1.如果平面与椭球面相切,提示:设切点为则(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)证明曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示:在曲面上任意取一点则通过此2.设f(u)可微,第七节证明原点坐标满足上述方程.点的切平面为补充题与定直线平行,曲面上任一点的法向量取定直线的方向

7、向量为则(定向量)故结论成立.的所有切平面恒1.证明曲面证2.求曲线在点(1,1,1)的切线解点(1,1,1)处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.