计算方法课件第四章矩阵特征值与特征向量的计算

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1、第四章矩阵特征值与特征向量的计算§4.0问题描述§4.1乘幂法与反幂法§4.2雅可比方法§4.0问题描述设A为n×n矩阵，所谓A的特征问题是求数和非零向量x，使Ax＝x成立。数叫做A的一个特征值，非零向量x叫做与特征值对应的特征向量。这个问题等价于求使方程组(A-I)x=0有非零解的数和相应的非零向量x。线性代数理论中是通过求解特征多项式det(A-I)=0的零点而得到，然后通过求解退化的方程组(A-I)x=0而得到非零向量x。当矩阵阶数很高时，这种方法极为困难。目前用数值方法计算矩阵的特征值以及特征

2、向量比较有效的方法是迭代法和变换法。§4.1乘幂法与反幂法一、乘幂法通过求矩阵特征向量求出特征值的一种迭法方法，它用以求按模最大的特征值和相应的特征向量。设实矩阵A的特征值为1,2,…,n，相应的特征向量线性无关。设A的特征值按模排序为：则对任一非零向量，可以得到：令，可以构造一个向量序列，根据特征值的定义若由于，故k充分大时，是相应于的近似特征向量设表示综上可知，求矩阵主特征值及相应的特征向量的计算步骤如下：Step1:任给n维初始向量U(0)0;Step2:按U(k)=AU(k-1)(k=1,2,…)计算U(

3、k);Step3:如果k从某个数后分量比则取1c，而U(k)就是与1对应的一个近似特征向量。上述方法即乘幂法。Remark1:具体计算时，U(0)的选取很难保证一定有10。但是，由于舍入误差的影响，只要迭代次数足够多，如，就会有，因而最后结论是成立的。对于的情形，由于对任意l均有上面的结论，故只要取另外的l使即可。Remark2:以上讨论只是说明了乘幂法的基本原理。当太小或太大时，将会使U(k)分量的绝对值过小或过大，以致运算无法继续进行。因此，实际计算时，常常是每进行m步迭代进行一次规范化，如用其中，max(

4、U(m))表示向量U(m)的绝对值最大的分量。代替U(k)继续迭代。由于特征向量允许差一个非零常数因子，因而从V(k)往后继续迭代与从U(k)往后继续迭代的收敛速度是相同的，但规范化的做法有效防止了溢出现象。至于m的选取，可以自由掌握，如取m＝1，5等等。Remark3:若主特征值是重特征值，如则有从而由此可得乘幂法的算法。但是应该注意到，在重特征值的情形下，从不同的非零初始向量出发迭代，可能得到主特征值的几个线性无关的特征向量。Remark4:由上述推导可知，乘幂法收敛的快慢取决于比值的大小，该比值越小收敛越快。由此便

5、提出了乘幂法的加速收敛方法，如Rayleigh商加速法、原点平移法等。Remark5:对于1＝-2，或1与2共轭等情形，也可类似进行计算，具体可参阅相关教材。对用反幂法求解按模最大的特征值是，特设矩阵A非奇异，用代替A作幂的方法就成为反的特征值满足，并且A对应于A-1的相应的特征向量是相同的。幂法。当A的特征值满足时，征向量是，即是A的按模最小的特征值和特征向量。二、反幂法计算矩阵按模最小的特征值及相应的特征向量。Step2：计算U(k)=A-1U(k-1)(k=1,2,…)；Step3:如果k从某个数后分量比则

6、取，而U(k)就是与n对应的一个近似特征向量。反幂法的计算步骤如下：Step1：任取；Remark2：若已知矩阵A的某个特征值i的相对分离较好的近似值p。不要求p的近似程度有多好，只要求ji时，，则便是的主特征值。这样一来，就可以使用反幂法求解矩阵的在某点附近的特征值及其特征向量。Remark1:实际计算时一般并不求A-1，而是将算法中的迭代公式U(k)=A-1U(k-1)改为解方程组AU(k)=U(k-1)。由于每步所解方程组具有相同的系数矩阵A，故常常是先将A进行三角分解，然后转化为每步只需用回代公式求解两个三

7、角方程组。这样可以减少计算工作量。