一类新的Block型李代数

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1、东南大学学位论文独创性声明及使用授权的说明一，学位论文独创性声明本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果．尽我所知。除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料．与我一同工作的同志对本研究所傲的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意．=．关于学位论文使用授权的说明东南大学、中国科学技术信息研究所．国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印．缩印或其他复制手段保存论文．

2、本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致．除在保密期内的保密论文外。允许论文被查阅和借阅，可以公布(包括刊登)论文的全部或部分内容．论文的公布(包括刊登)授权东南大学研究生院办理．签名·——导师签名，——Et期t——第一章引言本章回顾了已知的Block型李代数以及与之密切相关的Witt型李代数的有关工作，给出一类新的Block型李代数的定义．§1．1Witt型李代数下面先介绍关于Wltt型李代数的一些已知结果．设F是特征为P的数域，F上的Witt型李代数是指以岛，叮⋯．，o雨·为基。以啸嘲=辱一-)％为乘积的代数，这里gl0≤t蔓P

3、一1)表示模P的剩余类加群．H．z№咖【1】对上面的Witt型李代数作如下的推广t设G是数域F的加法子群。在以{％Ia∈G}为基的向量空间上定义乘积k，o口l=徊一a)e蚪口．在1954年，LKanptⅢky[2】把Witt型李代数推广到更为一般的情形．设j=“^⋯)是一个指标集，G是由指标集f到F上的函数形成的加法群，Kanplansky研究了以{岛，，lt∈，，，∈G)为基，以k，’勺，击=g(i)ej,1．，一IU)e‘，I+0为乘积的代数．这个代数记为w(I，G)，容易验证w(J，G)是一个李代数．H．Zassen]nu8的

4、代数就是这儿IJl=1的情形。称上面的代数为广义w毗型代数．Kanplausky经过研究推理，证明了下面的定理．为了便于定理的叙述首先介绍一个基本概念．定义1．1．1．设G是由指标集J到F上的函数形成的集合，{啦fi∈n是一个仅有有限个分量不为0的数组，如果巴∈f啦，G)=o，v，∈G当且仅当啦；o，vt∈I成立。则称G是完全的．定理1．1．1．如果G是完全的。则除了I引=1且Chaff=2外，W(X，G)是单纯李代数(1Jl表示集合JJ昕含元素的个数)．1985年，Kawamoto在文章【8】中考虑了一类特殊的LKanpLⅢky的

5、代数．设F是特征0的数域，J是一个非空指标集，G是U矧巩(B=F)的加法子群，W(G，D是以{W(口，{)l口∈G，i∈n为基底。乘积为f叫“，t／)bj】=咛t％+¨一玩叫卧6J，(1．1．1)的代数，显然这是I．Kanplausky的代数的特殊情形，作者研究了w(o，D的结构．定理1．1．2．设G≠0，R是W(C，D的根。则存在W(C，D的子代数s满足下列条件z(1)w(c，J)=RoE(2)躔单纯的，(3)存在某个指标集．，及‘，上的函数形成的群日，满足s同构于Ⅳ(E‘r)．1随后。许多研究者在多项式代数。群代数上。结合它们的

6、一些可交换导子张成的空间构造了一系列单纯李代数(具体内容见【9】，【1ll，【12】I【13

7、)．Passman对这些例子和结果总结和抽象，得到了如下的推广tF是一个任意特征的数域，^是F上的交换的结合代数，D是^上可交换的导子组成的向量空间，令W=A圆D，定义w上的乘积陋1dl，眈而】=aldt(c12)d2一o／2d2(at)d1，Val，眈∈Adl，如∈D．(L1．2)显然，这个代数是一个李代数，称之为Witt型李代数．在文章【14】中作者研究了李代数w是单纯李代数的充分必要条件．定理1．1．3．A是域F上的交换的结合代数。D

8、是A上可交换的导子组成的非零向量空间，如果chafF≠2或者出arF=2且dimD≥2，则w是单纯李代数当且仅当A是D单的且胪D忠实的作用在A上．进一步，设F是任意特征的数域，r是一个阿贝尔加群，则V=o。∈rF％是r阶化的向量空间，取，：r—F．是一个任意的函数，如果在向量空间y上定义乘积如下k，ep】=(，(口)一，(所)8叶加(1．1．3)则y就是一个代数，记作y(，)’如果代数V(／)是一个李代数，称其为Witt型李代数．文章【5】的作者研究了y是李代数的情形，得到如下结论。定理1．1．4．代数y(，)是一个李代数当且仅当，

9、满足下列条件t(1)，(o)=0。(2)(，n+o。一，(a。一，(7))(，(口)一，(们)=o，Ⅵ％，y∈r．定理1．1．5．李代数y是一个单李代数当且仅当，是单射且r无二扭§1．2Block型李代数1955年。Albert和Fr