多自由度模态分析理论

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1、试验模态分析第二章多自由度系统模态分析理论§1.11、多自由度系统频响函数以及与模态参数的关系前面我们引出了模态坐标、模态参数以及模态正交性的概念。这些都是模态分析的基本概念。当我们知道物理空间中结构的质量、阻尼及刚度矩阵时，即知道，及时就可以用计算机分析其结构的动态特性以及求解其响应了。这就是所谓的正向求解方法。但对一个实际结构的和必须经简化以及离散化后才可以得，这里就有一定的误差。至于阻尼矩阵就更难确定了。另外还有用试验的方法来测得结构的动态特性的方法。这就是所谓的逆向求解方法。即《试验模态技术》。所谓试验模态就是由试验测量激励和响

2、应（或、）来获得结构的动态特性。这就与频响函数的概念有关。下面我们讨论频响函数（或传递函数）与模态参数之间的关系，即频响函数的各种表达式。由振动分析理论知道，对线性时不变系统，系统的任一点响应均可表示为各阶模态响应的线性组合。对点的响应可表示为:（2—31）2.2多自由度系统模态参数多自由度系统模态分析将主要用矩阵分析方法来进行。我们以N个自由度的比例阻尼系统作为讨论的对象。然后将所分析的结果推广到其他阻尼形式的系统。设所研究的系统为N个自由度的定常系统。其运动微分方程为：（2—1）式中M、C、K分别为系统的质量、阻尼及刚度矩阵。均为N

3、-N阶矩阵。并且M及K矩阵为实系数对称矩阵，而其中质量M矩阵是正定矩阵，K刚度矩阵。对于无刚体运动的约束系统是正定的；对于有刚体运动的自由系统则是半正定的。当阻尼为比例阻尼时，阻尼矩阵C对于无刚体运动的约束系统是正定的；对于有刚体运动的自由系统则是半正定的。及分别为系统的位移响应向量及激励力向量，均为阶矩阵。即（2—1）式是用系统的物理坐标描述的运动方程组。在其每一个方程中均包含系统各点的物理坐标，因此是一组耦合方程（请大家想象一下其展开式）。当系统的自由度数很大时，求解很困难。我们能否将上述耦合方程变成非耦合的独立的微分方程组，就是模

4、态分析所要解决的主要任务。故所以模态分析的经典定义是：以无阻尼系统的各阶主振型所对应的模态坐标来代替物理坐标，使坐标耦合的微分方程组解耦为各个坐标独立的微分方程组，从而使求出系统的各阶模态参数。对（2—1）式两边进行拉氏变换，可得式中（2—2）（2—3）为拉氏变换因子；分别为位移响应与激励的拉氏变换（初试条件为零），即及（2—2）式又可写为：（2—4）式中为位移阻抗；是阶矩阵。阻抗矩阵的逆矩阵称为传递函数矩阵（2—6a）对时不变系统，其极点在复平面左半平面，因此可将换成，便可得出付氏域中的阻抗矩阵及频响函数矩阵：（2—6b）（2—7）此

5、时，系统的频域运动方程为：（2—8）由振动分析理论知道，对线性时不变系统，系统的任一点响应均可表示为各阶模态响应的线性组合。对点的响应可表示为（2—9）式中为第个测点、第由N个测点的振型系数所组成的列向量为（2—10）阶模态的振型系数。2.3多自由度系统模态分析在上节讨论中，我们引出了模态坐标、模态参数以及模态正交性的概念。这些都是模态分析的基本概念。这里我们要讨论频响函数（或传递函数）与模态参数之间的关系，即频响函数的各种表达式。按照模态参数（主模态频率及模态向量）是实数还是复数，模态可分为实模态与复模态两类。由于这两类模态的特性有一

6、定的区别，故分别加以叙述。这里先讨论实模态试验实模态分析设系统的自由度为，阻尼为比例阻尼，由（2—31）式可得第阶模态坐标为：式中:结构上任意测点的响应为（2—32）（2—34）（2—33）我们讨论单点激励情况。设激励力作用于点，则激励力向量变为模态力为因此，模态坐标可表示为将上式代入（2—32）式响应表达式得（2—35）（2—32）（2—36）因此，测量点与激励点之间的频响函数为上式表示为点的响应是单独由点的激励力引起的。换言之的含意即为，点作用一单位正弦力，在点产生的复响应。由此可见，频响函数与激励力的大小无关。（2—37）我们可对

7、上式稍作变换，可得式中称为等效刚度。它与测量点和激励力有关。与模态刚度不同，后者只与模态有关，而与测量点和激励点无关。这样上式、可表示为：称为第阶模态的阻尼比。（2—38）（2—39）（2—40）（2—37）式还可以写成式中称为留数或模态常数；称为等效质量；称为等效柔度。（2—41）（2—42）（2—43）（2—44）等效刚度与等效质量之间存在如下关系：（2—45）在上面的讨论中，我们认为系统某点的响应及频响函数都是全部模态的叠加（见（2—34）式及（2—41）式中的加号上界为全部模态数），即我们采用的是完整的模态集。但实际上并非所有的

8、模态对响应的贡献都是相同的。对低频响应来说，高阶模态的影响较小。对实际结构而言，我们感兴趣的往往是他的前几阶或十几阶模态，更高阶的模态常常被抛弃。这样做尽管会造成一些误差，但频响函数的矩阵阶数将大大减小，使