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第13讲:充分、必要条件与子集推出关系

'第13讲:充分、必要条件与子集推出关系'
高一上衔接课资料,王鹏兴整理第十三讲:充分、必要条件与子集推出关系【复习要求】1.理解命题的概念。2.理解四种命题之间的内在联系;3.掌握充分条件、必要条件、充要条件的意义及判定;【复习重点】1. 充分条件、必要条件的概念。2. 子集与推出关系等价性的理解与应用;3. 掌握判断命题推出关系的方法。【复习难点】1. 判断命题的充分条件、必要条件。2. 子集与推出关系等价性的证明;3. 确定参数范围和判断推出关系。【知识梳理】一、充分条件与必要条件我们在上一节课学习了命题与推出的关系,命题的四种形式,等价命题,你能分别概括出它们的内容和性质吗?如:写出下列两个命题的条件和结论,并判断是真命题还是假命题?(1)若,则, (2)若,则.易得出结论;命题(1)为真命题,命题(2)为假命题.讨论:对于命题“若p,则q”,有时是真命题,有时是假命题.如何判断其真假的?我们将由此推出关系,引入新的概念:给出定义:命题“若p,则q” 为真命题,是指由p经过推理能推出q,也就是说,如果p成立,那么q一定成立.换句话说,只要有条件p就能充分地保证结论q的成立,这时我们称条件p是q成立的充分条件.一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作:pÞq.1、充分与必要条件的概念:(1) 充分条件:若,则是的充分条件;(2) 必要条件:若,则是的必要条件;(3) 充要条件:若既有,又有,则是的充分必要条件,简称充要条件,也是的充要条件。2、推出关系具有传递性:若,,则,若,,则,称与等价。3、充要条件的证明:证明过程必须是“双向”的,即:既要由条件推出结论(充分性),又要由结论推出条件(必要性)。4、四种命题形式如果原命题或原命题的逆否命题成立,则原命题的条件是结论成立的充分条件;如果原命题的否命题或逆命题成立,则原命题的条件是结论成立的必要条件;如果四种命题形式都成立,那么原命题的条件是结论成立的充要条件;若四种命题形式都不成立,那么原命题的条件是结论成立的既不充分也不必要条件。二、子集与推出关系思考:问题1:用“”,“”,“”,“”填空:={︱};={︱}命题:;命题: ;命题 命题 提问:通过以上例题,对集合间关系和推出关系你能得出什么结论?问题2: 命题: 是命题:的 充分不必要 条件命题: 是命题: 的 必要不充分 条件问题3:请写出的一个充分条件:请写出的一个必要条件: 提问:你是如何找到这个条件的?(学生容易得出“小范围的能推出大范围的”这一直观朴素的结论,这种口语化的表述还需进一步用准确的数学语言来表达,引导学生用集合间的 “包含”或“包含于”的关系来刻画“范围”的大小关系)从上面的例子我们发现是的充分条件,即,如果将满足的元素组成集合,即,将满足的元素组成集合,即,可以得到:如果,那么,反之亦然。所以子集和推出关系之间有着必然的联系,这就是本节课研究的子集与推出关系。4、子集与推出关系:设,则 与 等价。5、子集与推出关系的各种表述形式:已知集合①若则是的充分条件;②若则是的充分不必要条件;③若则是的必要条件;④若则是的必要不充分条件;⑤若,则是的充要条件;⑥若则是的既不充分也不必要条件;6、推出关系具有传递性:若,,则,若,,则,称与等价。设,,则集合、之间的关系与、之间的关系,可用下表表示:集合之间的关系与之间的推出关系是的什么条件原命题“若,则”的真假逆命题“若、则”的真假,充分非必要条件真命题假命题,必要非充分条件假命题真命题充要条件真命题真命题不满足以上三种情况,既非充分又非必要条件假命题假命题【典型例题】例1、若命题p的否命题是q,命题q的逆命题是r,则r是p的逆命题的( D )A原命题 B逆否命题 C逆命题 D否命题例2、已知p:是方程的两根,q:,则p是q的( A )A.充分但不必要条件    B.必要但不充分条件C.充要条件     D.既不充分也不必要条件例3、判断下列各命题中是成立的什么条件:(1):;:; (2):;:(3)或;;(4)设,: ,:(5)已知,;。(6)已知,,解:(1)设,, ∵ AB, ∴是的充分非必要条件。(2)设,,∵,,AB, ∴ 是的必要非充分条件。(3)必要非充分条件; (4)是的必要不充分条件(5)既不充分也不必要条件(6)因为,或,, 所以,是的充分非必要条件.例4、已知p、q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么s,r,p分别是q的什么条件?分析 画出关系图1-21,观察求解.解 s是q的充要条件;(srq,qs)r是q的充要条件;(rq,qsr)p是q的必要条件;(qsrp)例5、求证:关于的方程有一个根为1的充要条件是证明略例6、设,是的充分条件,求的范围。解:设,因为是的充分条件,即,所以由右图可得,解得 所以的取值范围是。变式练习:设,是的充分条件,求的范围。解:设,是的充分条件,即,画数轴分析可得或,解得或所以的取值范围是或。例7、试用子集与推出关系判断是β(甲是乙)的什么条件:(1):;:(2):;:(3)甲:,乙:(4)设,甲: ,乙:解:(1)设,,∵ AB, ∴ α是β的充分非必要条件。(2) 设,,∵,,AB, ∴ α是β的必要非充分条件。(3)甲是乙的充分必要条件(4)甲是乙的必要不充分条件例8、利用子集与推出关系的等价性,写出下列语句的相关条件。写出的充分条件写出的必要条件写出的充要条件 解:答案不唯一例9、判断集合,之间的关系。解:设,,,∴。例10、设集合 ,那么“”是“”的( B )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件例11、“”是“”的( A )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件例12、若命题是命题的充要条件,命题是命题的必要非充分条件,则命题是命题的______ 条件
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