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气体动力学讲义吴子牛lectu

'气体动力学讲义吴子牛lectu'
VI: 气体动力学第六讲?一维非定常流动?2001年10月16日-11月-6日?星期二?上午9:50-中午12:15?明理楼422 第六讲Dear Song and Ziniu, I would like to recruit a graduate student who has undergraduateeducation from Tsinghua University under you two. Is it possible that you can help me to find one? I hope that he can spend coupleyears in Peking University for Master Degree and come US (or stay at PKU) two or three years later for Ph. D. I assume that he should be qualified for the waiver of the entry examination from Tsinghua. In this way, I think that we can transfer the waiver to Peking University. The idea of getting a graduate student from Tsinghua is so obvious. I would like to encourage the mixing of academic culture. If you thinkthat is a good idea, we should do this as soon as possible. The timeis up. Of course, if we can not find such a candidate this year, we cantry next year. The research areas will include: Turbulence theory and Computations,CFD and applications, in particular in compbustion and multiphase flows, nanofluidics and microfluidics, pollen transport in biocomplx systemsand engineering data mining related information technology. Hope to hear from you soon and Best regards,Shiyi 意义? 许多实际问题属于一维非定常流动:如 汽车进排气管道中的流动。某些三维流 动(如点爆炸)也可以看成一维流动, 如柱面波和球面波问题? 许多高维问题局部存在一维效应? 研究一维非定常问题可以揭示许多流动 现象,因为问题存在精确解 VI:非定常流动 问题特征? 考虑大扰动波或有限振幅波的传播,属 于非线性问题? 该类问题存在一些特殊解,如膨胀波、 压缩波和激波;需要了解这些解的运动 规律及它们之间或与其它物体之间的相 互作用规律 VI:非定常流动 研究内容? 基本方程及特征线法? 一维非定常均熵流动? 间断流? 波的反射与相互作用? 其它问题 VI:非定常流动 VI-1:基本方程与特征线法? 基本方程? 特征线方程? 相容关系式? 黎曼不变量与简单波 VI-1:基本方程方程组推导:控制体 dm?dQ ? ??dx ? q ? ? Vi ?R f ? ? ?d? V V ?dV m? m? ?dm? ? ? ?d? p p?dp T T ?dT dx VI-1:基本方程 几何说明? 截面积 ? ? ? ( x ) ,控制体体积 1 ? ? (? ?? ? d? )dx ? ?dx ? o(dx) 2 对于周长为 的非圆截面管道,可以定义水利学直径? C w 4? D ? Cw 因此可以看成是直径为D的当量圆截面管道? 所有流动参数都用截面平均值? 扩张角 ? ? ? ( x ) 满足 d? / dx ? o(1) VI-1:基本方程 质量守恒方程? 左边界质量流量 m? ? ?V?? 右边界质量流量 (? ? d?)(V ? dV )(? ? d? )? 添质作用 dm? ? 0 ? ?V? ? const 1 ??? 控制体质量变化率 (? ?? ? d? )dx? 质量守恒关系式 2 ?t 1 ?? (? ?? ? d? )dx ? dm? ? dm? 2 ?t ?V? ? (? ? d?)(V ? dV )(? ? d? ) VI-1:基本方程 连续性方程? 由 ?? ? ? dm? ? ?V? ? (? ? d?)(V ? dV )(? ? d? ) ?t得 ?? ?? ?V 1 dm? dln? ?V ? ? ? I, I ? ? ?V ?t ?x ?x ? dx dx 动量守恒:摩擦力表达式 2 w f V ( / ) dx ? ? ? ? 牛顿 米 2 2? 壁面剪切应力 1 cos? 这里f 为摩阻系数(无量纲,基本为常数) 积 面 ? ??? ?? cos ? ?? 管壁摩擦力 R f f w w R C ? ? ? ? x d dx? 管壁摩擦力沿轴线投影为 fx f w w R R cos( ) C dx ? ? ? ? ? ? ? ?? 2? 利用 D ? 4 ? / C w ,得 D fx R V dx ? ? ? ? ? 2 1 4 f VI-1:基本方程 动量方程:总受力分析 ( p dp )( d ) ? ? ? ? ? p? 左边界受力: ? ,右边界受力: 1? 侧面受力: (p ? p ? dp)d? ??R ? pd? ??R ? o(dx) 2 fx fx? 合力 2 D dp V dx o(dx) ? ?? ? ? ? ? 2 1 4 f fx F p ( p dp )( d ) pd R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?F VI-1:基本方程 动量方程:动量流量 ? 从左边流进的动量 m? V ? 从右边流出的动量 (m? ? dm? )?V ? dV ? 从侧面添质带进的动量: ? Vixdm? ? 动量流量引起的净增加 ?M ? m? V ? ?m? ? dm? ??V ? dV ??Vixdm?Vi ? ?m? dV ? (V ?Vix )dm? ? o(dx) VI-1:基本方程 动量守恒方程 ? 外力和净动量流量引起控制体内动量增加 ??V ? ? ?F ??M ?t ? 因此,动量方程为 t 2 D ? ix ? ? dp V dx m dV (V V )d m o(dx)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 V 1 4 f ?? VI-1:基本方程 动量方程 ? 由 t 2 D ? ix ? ? dp V dx m dV (V V )d m o(dx)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 V 1 4 f ?? 得 t x x dx 2 D ? ? ? ? ix V G , G V V ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? V V p 1 dm 1 4 f ? ? ? VI-1:基本方程 能量方程:守恒率 右边能量通量 左边能量通量 ? ? 2 i i ? Q h V dm ? ?? ? ? ? +摩擦力做功 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? t 2 2 2 ? ? ? ? ? ? (m dm ) h V d h V m h V ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ??? ? ? 加 添质所携带的能量 由于壁面流体速度为0,所以为0 热 ? 对单位质量的气体的加热量 dx q ( ) =m? ?q ? m? ?q?dt ? m? ?q? V ?q? (对单位质量的气体的加热率) V-1:基本方程 能量方程形式? 一般形式 ? ? t x 2 ? ? i i ? p V Q h V dm ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 1 ? ? 2 ??? ? ?对于量热完全气体,可以得出 ? ? dx dx ? ? ? ? ( 1) VG ? ? ? ? ? ? 0 0 i ? dm 1 dQ h h ? ? ? ? ? ? t x t x ? ? ? ? V a V ? ? ? ? ? ? ? 2 p p ? ? ? ? ?? ?? V-1:基本方程 广义一维流动控制方程组 ?? ?? ?V ?V ? ? ? I ?t ?x ?x t x x ? ? ? V G ? ? ? ? ? V V p ? ? ? ? ? t x t x ? ? ? ? V a V U ? ? ? ? ? ? 2 p p ? ? ? ? ?? ?? 1 dm? dln? 1 dm? 1 2 4 fI ? ? ?V G ? V ? ?V ? dx dx ix ? dx 2 D ?h ? h dm? 1 dQ? ?U ? (? ?1)? 0 0i ? ?VG? ? ? dx ? dx ? VI-1:基本方程 矩阵形式 ? 矩阵形式 AWt ? BWx ? F ? ? ? ? I ? ? 1 0 0? ? V ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ?W ? ?V ?, F ? ?G ?, A ? ? 0 ? 0?, B ? ? 0 ?V 1 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? p? ?U ? ?? a 0 1? ?? a V 0 V ? 如何求解?? 方程为拟线性偏微分方程组,传统方法 无法求解。? 比较有效的方法是采用特征线法。方程 沿某些曲线(特征线)可以化成常微分 方程,从而可以积分出来。因此考虑波 沿这些曲线的传播。 特征线理论? 按 d e t ( B ? ? A ) ? 0 得特征值 ?1 ? V ? a,?2 ? V ,?3 ? V ? a? 相应的左特征向量为 2 2 l1 ?(a ,? a, 1), l2 ? (0,0,1), l3 ?(a ,a, 1) dw lk A ? lk F 相容关系式1 dt ?? 对于特征线 d x / d t ? V ? a ,相容关系式为 ? 1 0 0? ? I ? ? ?dw ? ? (a2,? a, 1)? 0 ? 0? ?(a2,? a, 1)?G ? ? 2 ? dt ? ? ? ?? a 0 1? ?U ? ? dV dp ? ?a ? ? a2 I ? aG ?U dt dt dw lk A ? lk F 相容关系式2 dt ?? 对于特征线 d x / d t ? V ,相容关系式为 ? 1 0 0? ? I ? ? ? ? ? dw (0,0,1)? 0 ? 0? ? (0,0,1)?G ? ? ? ? ? dt ? ? 2 ? ? ? ?? a 0 1? ?U ? ? d? dp ? a2 ? ? U dt dt dw lk A ? lk F 相容关系式3 dt ?? 对于特征线 d x / d t ? V ? a ,相容关系式为 ? 1 0 0? ? I ? ? ? ? ? dw (a2,a, 1)? 0 ? 0? ?(a2,a, 1)?G ? ? ? ? ? dt ? ? 2 ? ? ? ?? a 0 1? ?U ? ? dV dp ?a ? ? a2 I ? aG ?U dt dt 简单流动的相容关系式? 对于 I ? G ? U ? 0 的简单流动,有 dV dp ? : ??a ? ? 0 1 dt dt a2 ? ?p / ? 2 d? dp p ? : ?a ? ? 0 ? ? ? Const 2 dt dt ? dV dp ? : ?a ? ? 0 3 dt dt VI-2:一维非定常均熵流动? 黎曼不变量与简单波? 膨胀波与压缩波的定义? 中心稀疏波 VI-2:均熵流动 黎曼于 年获得VI-2:均熵流动 1860 黎曼不变量 ? 2 ? ? ? 对于量热完全气体( a ? ? p / ? ) 和等熵流动 ( p / Cte ), 可以将第1和第3个相容关系式沿特征线积分,得 2 2 ? : V ? a ? C , ? : V ? a ? C 1 ? ?1 1 3 ? ?1 2 ? 沿第2条特征线,熵为常数;在熵为常数的前提下,沿 第 和第 条特征线, 分别不变。称 为 1 3 C 1 和 C 2 C 1 和 C 2 黎曼不变量。也就是说,沿给定的(第1和第3条)特 征线,黎曼不变量为常数,但对于不同特征线,它们 的值可以不同。 为了方便,记 I1 ? C2 , I2 ? S, I3 ? C1 黎曼不变量的作用 ? 根据黎曼不变量的定义,? 特征值的正负反应了波的 沿特征线方向的任意点 传播方向。不变量可以用 于定义边界条件。例如, 的解可以由某一初始点 在入口边界,如果 ? k ? 0 , 的解获得。 那么对应的不变量要给定。 t ? 3 如果? ? 0,则给定I 如果?k ? 0,则给定Ik k k ?2 ?1在曲线上给定解 x VI-2:均熵流动 VI-2:均熵流动 边界条件个数 M ? 1 2个 1个?1 ? 0,?2 ? 0,?3 ? 0 ?1 ? 0,?2 ? 0,?3 ? 0 M ? 1 3个 0个?1 ? 0,?2 ? 0,?3 ? 0 ?1 ? 0,?2 ? 0,?3 ? 0 1 1 ? ? V (1 ? ), ? ? V , ? ? V (1 ? ) 1 M 2 3 MVI-2:均熵流动 左(右)边边界条件类型 ? 设有 l 个正(负)特征值,需要给定 l 个不变量作为边界条 (i) tr 件。对应正(负)特征值的波称为入射波 W, ? ( I 1 , I 2 , ? , I l ) 对应负 正 特征值的波称为出口波 (o) tr。 ( ) W ? ( I l ? 1 , I l? 2 , ? , I m ) ? 无反射边界条件:无论出口波如何,只给定入射波的值 作为边界条件 W (i) ? g(t) ( 1) ? 反射边界条件:出口波被部分反射为入口波 (i) (o) W ? SW ? g(t), S ? S(m?l)?l ( 2) 反射部分 给定部分VI-2:均熵流动 例:亚音速入流边界条件 ? 反射边界条件(一般边界条件)也可以按扰动量写成 (i) (o) dW ? SdW ? dg(t), S ? S(m?l)?l ? 考虑到 dV dp d? dp dV dp dI ? ?a ? , dI ? ?a2 ? , dI ? ??a ? 1 dt dt 2 dt dt 3 dt dt 因此上述一般边界条件可以写成 ?? , ? , g1 , g2 ? ? d? dp ? dV dp ? ? a2 ? ? ??? ?a ? ? ? g dt dt ? dt dt ? 1 dV dp ? dV dp ? ?a ? ? ??? ?a ? ? ? g dt dt ? dt dt ? 2 病态条件特例? 如果在亚音速入口给定速度和压力,即令 dV dp ? f , ? f ( 3) dt 1 dt 2 则一般边界条件成为 d? ? a2 ? ??? ?af ? f ?? f ? g dt 1 2 2 1 ?af1 ? f2 ? ? ?? ?af1 ? f2 ?? g2 因此,不存在与 ? 无关的参数 ,使 d / d t ? , ? , g 1 , g 2 (3) 等价于无反射边界条件的一般形式(2)。 VI-2:均熵流动VI-2:均熵流动 良态条件特例 ? 如果在亚音速入口给定密度和速度,即令 dV d?
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