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【9A文】解析几何试题的背景及拓展116.doc

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【MeiWei_81重点借鉴文档】仿射几何与北京高考解析几何试题——2016北京卷第19题的背景和拓展我们知道,圆锥曲线的很多问题都可以在“圆”那里找到源头,那么圆的哪些性质可拓广到其它曲线呢?那些不能照搬的性质,又有什么样的变化形式?举个例子:圆有一个重要的性质——“直径所对的圆周角为直角”。那么类似的,对于椭圆能得到什么相应的结论呢?设为椭圆的“直径”(即过中心的弦),为椭圆上一点(异于),仍垂直吗?会有什么关系?分析:设,则,,又因为,,所以,也就是说直线的斜率之积为定值。在20RR年高考北京卷的第19题涉及到了这个内容:在平面直角坐标系中,点与点关于原点对称,是动点,且直线与的斜率之积等于。求动点的轨迹方程。这里,实际上就是把上面的问题反过来了。这些是简单的问题,对于圆的更复杂的性质,圆锥曲线里又会有怎样相应的结论呢?我们知道,对圆锥曲线的研究,思路的起点经常是圆,而圆里面的问题太丰富了,中学教师如果能够把圆锥曲线和圆的关系搞清楚,那么解析几何问题的探索与研究的源泉将永不枯竭。本文简述仿射几何的几条基本理论,探讨如何把圆里的问题转化到圆锥曲线中去,寻找高等数学观点下的圆锥曲线(包括圆)的一致性,并谈谈在这方面北京卷命题所做的一些探索和实践。一、仿射几何的几条基本结论结论1:仿射变换保持同素性.仿射变换使得点对应点,直线对应直线.结论2:仿射变换保持结合性.在直线上,经过仿射变换后,其对应点在直线的对应直线上.结论3:两个封闭图形面积之比经过仿射变化后保持不变。二、仿射几何与高考试题结合2016年高考北京卷的解析几何试题,谈谈在这方面北京卷命题所做的一些探索和实践。(一)问题及背景在平面几何中有下面的问题:已知圆的半径为1,垂直平分,为弧上的动点(且不与重合),则BAPCONMD(1)四边形的面积为定值;(2)为定值.实际上,四边形的面积等于,所以上面的(1)(2)两个问题是等价的。这个问题的平面几何解法不难找,这里不细述了,下面我们给出一个借助高中三角公式的证明.证明:所对的弧分别为,所以.所以所以,即.由圆的半径为1,得所以所以即所以四边形的面积等于的面积(等于1),即四边形的面积为定值(也即为定值).我们知道,椭圆经过仿射变换后变为圆.同样的,圆也可以经过仿射变换变为椭圆.我们可以从圆的某些性质导出椭圆的一些性质。由于仿射变换保持同素性和结合性,所以图1中的四边形经过变换后仍为四边形记为四边形.又由前面提到的仿射几何中的推论,我们知道两个封闭图形面积之比经过仿射变化后保持不变,即,四边形的面积也为定值.根据以上的分析,在椭圆里我们可以提出类似的问题,这就有了2016年高考数学北京卷(理科)的第19题:已知椭圆的离心率为,,,,的面积为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设是椭圆上一点,直线与轴交于点,直线与轴交于点.求证:为定值.(二)问题的拓展2016高考数学北京卷的文科第19题与理科19题是姊妹题,具体如下:已知椭圆过,两点.(Ⅰ)求椭圆的方程及离心率;(Ⅱ)设为第三象限内一点且在椭圆上,直线与轴交于点,直线与轴交于点.求证:四边形的面积为定值.在这个题的命制过程中,还给出了其他的一些方向,但慎重考虑后,我们做了一些取舍,这里一并和大家谈谈,和大家探讨。本题中,我们把点限定在第三象限,但实际上点在其他象限时也有类似问题,比如:当点在第一象限的时候(且在椭圆上),仍然设交轴于点,交轴于点,其中,则可以证明是一个定值。证明的过程中,首先需要一个几何转化,即,接下来就和前面的问题没什么差别了。这个结果非常漂亮,但最后还是割爱了,为什么呢?我们放弃它,并不是因为这个几何转化,我们甚至认为解析几何一定要考查几何的东西,但是这个题的几何转化的途径太单一了,几乎就是“华山一条路”,而一旦考生不能几何转化,将面临及其艰苦的运算,这不是北京高考题应该具备的特质。我们心目中的解析几何题应该是这样的:它首先应该是个几何问题,问题的提出应该有一个几何背景,中间解决的过程是代数的,从几何到代数的转化当然是需要的,但一般会给考生多一些途径,这个代数的方法也没有什么一定之规,套用中学教师的总结,“可以是设点,也可以是设直线”,比如今年的题就是这样,但最后还是回归到解决一个几何问题。一道好的解析几何试题里,几何应该是缘起,也是归宿,代数是解决这个几何问题的工具。(三)不同解法在阅卷过程中,我们发现学生有很多好的解法,在这里列举几种理科19题的解法,供大家参考.解法1:(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,.设,则.当时,直线的方程为.令,得,从而.直线的方程为.令,得,从而.所以.当时,,,,所以.综上,为定值.解法2:(Ⅱ)联立椭圆与直线的方程得到点坐标为联立椭圆与直线的方程得到点坐标为因此.两式通分相减,得到.如果,则,即.因此,无论是否相等,总有.从而.由直线的方程解得点坐标,.由直线的方程解得点坐标,.为定值.解法3:(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,.当直线的斜率存在时,设其方程为,令得,从而.由得,所以,.直线方程为,令得,从而.所以.当直线的斜率不存在时,此时,,所以.综上所述为定值.参考文献1.朱德祥,朱维宗.高等几何[M].北京:高等教育出版社,20RR2.梅向明,刘增贤,王汇淳,王智秋.高等几何[M].北京:高等教育出版社,20RR3.王雅琪.坐标一桥飞架数形天堑变通途[J].数学通报,2016,3:46-484.王雅琪.高观点下的北京高考解析几何试题[J].数学通报,2016,11:28-305.李红春.仿射变换下一类椭圆问题的简单解法[J].中学数学月刊,20RR,12:40-43【MeiWei_81重点借鉴文档】
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