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数学北师大版八年级上册探索勾股定理2

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勾股定理证明方法的分类介绍勾股定理的证明:分三种类型:第一种类型:以赵爽的“弦图”为代表,用几何图形的截、割、拼、补,来证明代数式之间的恒等关系.第二种类型:以欧几里得的证明方法为代表,运用欧氏几何的基本定理进行证明.第三种类型:以刘徽的“青朱出入图”为代表,“无字证明”.第一种类型:以赵爽的“弦图”为代表,用几何图形的截、割、拼、补,来证明代数式之间的恒等关系.体现了以形证数、形数统一、代数和几何的紧密结合 . 1.方法一:三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时,创制了一幅“勾股圆方图”, 也称为“弦图”,这是我国对勾股定理最早的证明. aabbcc 2002年世界数学家大会在北京召开,这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的“弦图”,标 志着中国古代数学成就. 2.方法二:美国第二十任总统伽菲尔德的证法,被称为“总统证法”. 如图,梯形由三个直角三角形组合而成,利用面积公式, 列出代数关系式得: 化简为: 3.方法三:据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明. 图2图1 将4个全等的直角三角形拼成边长为(a+b)的正方形ABCD,使中间留下边长c的一个正方形洞.画 出正方形ABCD.移动三角形至图2所示的位置中,于是留下了边长分别为a与b的两个正方形洞.则 图1和图2中的白色部分面积必定相等,所以c2=a2+b2说明:以赵爽的“弦图”为代表第一种类型证明方法,利用几何图形的截、割、拼、补,来 证明代数式之间的恒等关系.它们的基本方法在前面两节课中已经给予了一定介绍.第二种类型:以欧几里得的证明方法为代表,运用欧氏几何的基本定理进行证明,反映了勾股定理的几何意义.希腊数学家欧几里得(Euclid,公元前330~公元前275)在巨著《几何原本》给出一个公理化的证明. 1955年希腊为了纪念二千五百年前古希腊在勾股定理上的贡献,发行了一张邮票,图 案是由三个棋盘排列而成. 如图,过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE, 并 交DE 于 L,交 BC 于 M.通过证明△BCF≌△BDA,利用三角形面积与长方形面积的关系,得到正方形ABFG与矩形BDLM等积,同理正方形ACKH 与 矩形MLEC也等积,于是推得.第三种类型:以刘徽的“青朱出入图”为代表,证明不需用任何数学符号和文字,更不需进行运算,隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现,整个证明单靠移动几块图形而得出,被称为“无字证明”. 1.约公元 263 年,三国时代魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时,用“出入相补法” 证明了勾股定理. 教师利用课件介绍“青朱出入图”. 说明:教学中可以利用多媒体动态地展示出图形的移动变化,让学生很清楚地发现图中:小正方形与较大正方形的面积和与最大正方形的面积之间的等量关系,从而不用运算,单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理,真是“无字的证明”. 2.在印度、在阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明(如图).3.意大利著名画家达·芬奇的证法: 步骤: (1)在一张长方形的纸板上画两个边长分别为a,b的正方形,并连接BC,FE. (2)沿ABCDEF剪下,得两个大小相同的纸板Ⅰ、Ⅱ.请动手做一做. (3)将纸板Ⅱ翻转后与Ⅰ拼成其他的图形. (4)比较两个多边形ABCDEF和A’B’C’D’ E’F’的面积,你能验证勾股定理吗?说明:意大利著名画家达·芬奇的证法,方法新颖,可以开阔学生的视野、丰富学生的想像;具有一定的操作性,但可能又一定难度,可以在课堂上稍作介绍,而留给学生在课后利用充足的时间进行研究.
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