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数学北师大版八年级上册二次根式的概念和性质

'数学北师大版八年级上册二次根式的概念和性质'
7 二次根式第1课时 二次根式的概念和性质教学目标【知识与技能】1.了解二次根式及最简二次根式的概念.2.会化简二次根式.3.理解并掌握二次根式的性质.【过程与方法】经历观察、分析、讨论、归纳二次根式及最简二次根式的过程,发展学生的归纳概括能力和语言表达能力.【情感、态度与价值观】积极参与数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体会到数学学习的乐趣.教学重难点【重点】理解并掌握二次根式及最简二次根式的概念,化简二次根式.【难点】化简二次根式.教学过程一、知识回顾,引入新课师:同学们还记得平方根的概念吗?生:记得.一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根.师:什么叫做算术平方根呢?生:正数的正的平方根以及零的平方根,统称算术平方根.师:很好!非负数a的算术平方根用(a≥0)表示.一般地,例如(a≥0)的式子,我们叫做二次根式.这就是今天这节课我们要学习的内容.二、讲授新课师:请同学们观察下列代数式,你能发现它们有什么共同特征吗?,,,,(其中b=24,c=25).生:它们都含有开方运算,并且被开方数都是非负数.师:很好!一般地,例如(a≥0)的式子,叫做二次根式,a叫做被开方数.那么二次根式具有什么性质呢?下面我们一起来探究一下.请同学们完成以下填空:=    ,×=    ; =    ,×=    ; =   ,×=   ; =    ,÷=    . 学生独立完成填空,然后集体订正.并根据上面的猜想,估计下列式子是否相等,再借助计算器验证.=    ,÷=    . 师:请同学们比较左右两边的等式,你发现了什么?你能用字母表示你发现的规律吗?学生分组讨论交流,然后由小组代表发言,教师予以补充完善.师:通过刚才的探究,我们可以发现积的算术平方根的性质和商的算术平方根性质.即:(1)积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积(各因式必须是非负数),即=·(a≥0,b≥0);(2)商的算术平方根的性质:商的算术平方根,等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.(被除式必须是非负数,除式必须是正数),即=(a≥0,b>0).师:知道了二次根式的这些性质,下面我们来看几个例题,加深理解.三、例题讲解【例1】 化简:(1);(2);(3).【答案】 (1)=×=9×8=72;(2)=×=5;(3)==.例1的化简结果5,中,被开方数中都不含分母,也不含能开得尽方的因数.一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式.【例2】 化简:(1);(2);(3) . 【答案】 (1)==×=5;(2)===;(3)==.判断最简二次根式的方法:通常将不含分母的被开方数分解因数或因式后,不含能开得尽方的因数或因式,即为最简二次根式.【例3】 先化简,再求出下面算式的近似值(精确到0.01).(1);(2);(3).(合理应用二次根式的性质,可以帮助我们简化实数的运算.)【答案】 (1)===·=12≈20.78;(2)===≈1.01;(3)===×=10-2×=0.01×≈0.02.四、巩固练习1.化简:;(2);(3);(4)【答案】 (1)165 (2)4 (3) (4)2.化简:-【答案】 原式=-=.3.若b>0,x<0,化简:-.【答案】 原式=-=-=-=.五、课堂小结师 :通过这节课的学习,同学们有什么收获?能与大家分享一下吗?学生发言,教师予以点评.第2课时 二次根式的运算(1)教学目标【知识与技能】1.了解二次根式的运算法则是由二次根式的性质得到的.2.会进行简单的二次根式乘除以及加减运算.3.会进行二次根式的四则混合运算.【过程与方法】让学生进一步了解数学知识之间是相互联系的.【情感、态度与价值观】培养学生努力探索事物之间内在联系的学习习惯.教学重难点【重点】二次根式的乘除以及加减运算.【难点】熟练地进行二次根式的四则混合运算.教学过程一、复习归纳1.二次根式的性质:(1)()2=a(a≥0)(2)= (3=·)(a≥0,b≥0) (4)=(a≥0,b>0)2.想一想:你能计算吗?(1)× ; (2)× ;(3)× .师:先计算每组数中的左边的式子,再计算右边的式子.它们相等吗?你发现了什么?学生先独立完成,然后分组讨论交流,再集体订正.3.提出问题.(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两列火车共运煤多少吨?    (2)两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两列火车共运煤多少吨?    这是以前学过的多项式加减法,同类项可以合并,想一想在计算二次根式加减法的时候能运用此类方法吗?请尝试计算以下几题.(1)3+4;(2)+;(3)++4.二、讲授新课1.在学生进行练习后进行总结.①二次根式的乘除运算法则.=·(a≥0,b≥0)=(a≥0,b>0)即将二次根式的性质等式左右两边对换,就得到二次根式的乘法法则和除法法则.②二次根式的加减运算法则.师:与合并同类项类似,我们可以把相同二次根式的项合并.下列计算结果哪些正确,哪些不正确?+=;a+=a;-=;a+b=(a+b);-=-=0.学生回答,教师予以订正.③二次根式的四则混合运算.二次根式即可以进行乘除运算,也可以进行加减运算.以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用.说说下列算式的运算顺序,并计算出结果.(+)·(+) ·56×+×2.例题学习.【例1】 计算.(1)×; (2); (3).(归纳二次根式的乘除运算的一般步骤:(1)运用法则,化归为根号内的实数运算;(2)完成根号内乘除运算;(3)化简二次根式.)【答案】 (1)×===;(2)==;(3)====.【例2】 计算:(1)3×2;(2)×-5;(3)(+1)2;(4)(+3)(-3);(5)-×;(6)【答案】 (1)3×2=3×2×=6;(2)×-5=-5=-5=6-5=1;(3)(+1)2=()2+2+1=5+2+1=6+2;(4)(+3)(-3)=()2-32=13-9=4;(5)(-)×=×-×=-=6-1=5;(6)=+=+=2+3=5.【例3】 计算:(1)+;(2)-;(3)(+)×.【答案】 (1)+3=+=×+=4+=5;(2)-=-=-=;(3)(+)×=+=+=2+3=5.三、课堂小结师:本节课我们学习了哪些知识?还有什么疑惑的地方吗?师生共同总结.第3课时 二次根式的运算(2)教学目标【知识与技能】
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