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个方程所确定的隐函数及其导数

'个方程所确定的隐函数及其导数'
山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂 第五节隐函数的求导方法 一、一个方程所确定的隐函数及其导数 二、方程组的情形 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂本节讨论 :1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 x2 ? y ? C ? 0 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 . 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂 一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理1. 设函数 在点 F(x, y) P(x0 , y0 )的某一邻域内满足 ① 具有连续的偏导数; ② F(x0 , y0 ) ? 0; ③ Fy (x0 , y0 ) ? 0则方程 F(x, y) ? 0在点(x0 , y0 )的某邻域内可唯一确定一个单值连续函数 y = f (x) , 满足条件 y0 ? f (x0 ), 并有连续导数 dy F ? ? x (隐函数求导公式) dx Fy 定理证明从略,仅就求导公式推导如下: 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂设 y ? f (x) 为方程 F(x, y) ? 0 所确定的隐函数 , 则 F(x, f (x)) ? 0 两边对 x 求导 ?F ?F dy ? ? 0 ?x ?y dx 在 的某邻域内 (x0 , y0 ) Fy ? 0 dy F ? ? x dx Fy 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂 例1 验证方程x2?y2?1?0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x?0时y?1的隐函数y?f(x), 并求这函数的一阶与二阶导数在x?0的值. 解 设 F(x, y)?x2?y2?1,则 Fx?2x, Fy?2y, F(0, 1)?0, Fy(0, 1)?2?0.由隐函数存在定理, 方程x2?y2?1?0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x?0时y?1的隐函数y?f(x). ddyydy FFx F xx xddyydy ??????x ??x?????? ? ??00?? ?0 ? ddxxdx FFyyFy yy yddxxdxx?x?00x?0 2 2 2 2 ddydy 2 y yy??xyyx??y?xy? 11 1ddyyd 2 y ????? ? ????? ?? ? ? ????1?1? ?? 1 ? dxd2x2 2 y2y2 2 y3y3 3dxd2x2 2 dx y y dx?xx0?0x?0 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂 例2. 已知方程 sin y ? ex ? xy ?1 ? 0 在点(0,0)某邻域确定一个单值可导隐函数 y ? f (x), 求 dy d 2 y , dx x ? 0 dx2 x ? 0 解: 令F(x, y) ? sin y ? ex ? xy ?1, 则 x Fx ? e ? y, Fy ? cos y ? x x d y Fx ? ? ? ? ? e y dx Fy c o s y ? x dy ex ? y ? ? ? ? ?1 dx x 0 c o s y ? x x ? 0, y ? 0 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂 d 2 y d e x ? y ? ? ( ) dx2 x ? 0 dx cos y ? x x ? 0, y ? 0, y? ? ?1 x x ( e ? y ? ) ( c o s y ? x ) ? ( e ? y ) ( ? s i n y ? y ? ? 1 ) ? ? ? 2 x 0 (cos y ? x ) y ? 0 y? ? ?1? ?3 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂 定理2 .若函数 F(x, y, z)满足: ① 在点P(x0, y0, z0)的某邻域内具有连续偏导数 , ② F(x0 , y0, z0) ? 0 ③ Fz (x0 , y0, z0) ? 0则方程 F(x, y, z) ? 0 在点(x0 , y0 , z0 )某一邻域内可唯一确定一个单值连续函数 z = f (x , y) ,满 足 z0 ? f (x0 , y0 ),并有连续偏导数 ?z F ?z F ? ? x , ? ? y ?x Fz ?y Fz 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下: 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂 设 z ? f (x, y) 是方程 F(x, y) ? 0 所确定的隐函数 , 则 F(x, y , f (x, y ) ) ? 0 两边对 x 求偏导 ?z Fx ? F ? 0 z ?x 在 (x0 , y0 , z0 ) 的某邻域内Fz ? 0 ?z F ? ? x ?x Fz ?z F同样可得 ? ? y ?y Fz 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂 ?2 z例3. 设 x2 ? y2 ? z 2 ? 4z ? 0, 求 . ?x2解法1 利用隐函数求导 ?z ?z ?z x 2x ? 2z ? 4 ? 0 ? ?x ?x ?x 2? z 再对 x 求导 ?z ? 2 z ? 2 z 2? 2( )2? 2z ? 4 ? 0 ?x ?x2 ?x2 ?z 1? ( )2 ?2 z (2 ? z)2 ? x2 ? ?x ? ?x2 2 ? z (2 ? z)3 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂解法2 利用公式设 F(x, y, z) ? x2 ? y2 ? z 2 ? 4z则 Fx ? 2x, Fz ? 2z ? 4 ?z F x x ? ? ? x ? ? ? ?x Fz z ? 2 2 ? z两边对 x 求偏导 ?z (2 ? z) ? x ? 2 z ? x ?x (2 ? z)2 ? x2 ? ( ) ? ? ?x2 ?x 2 ? z (2 ? z)2 (2 ? z)3 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂 x y 例4. 设F( x , y)具有连续偏导数, 已知方程 F( , ) ? 0, z z求 dz. 解 利用偏导数公式. 设 z ? f (x, y) 是由方程 x y F( , ) ? 0 确定的隐函数, 则 z z 1 ?z F1?? z F? ? ? z ? 1 x y ?x F ? ? ( ? ) ? F ? ? ( ? ) x F1?? y F2? 1 z 2 2 z 2 1 ?z F2? ? z F? ? ? z ? 2 x y ?y F ? ? ( ? ) ? F ? ? ( ? ) x F1?? y F2? 1 z 2 2 z 2 ?z ?z z ?z F 故 dz ? dx ? dy ? (F?dx ?? F??dyx ) ?? ? 1 2 ?x ?y x F1 y F2 ?x Fz 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂二、方程组所确定的隐函数组及其导数 在一定条件下方程组F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0能确定一对二元函数u?u(x, y), v?v(x, y). 例如, 方程xu-yv=0和yu?xv=1可以确定两个二元函数 y x u? ? v? ? x2 ? y2 x2 ? y2 事实上, x x yyy xxuu??yyvv??00 ??v? u ? yu? x? uu??11??uu??? ??? y y xxx222???yyy222 x y x vv? ? ? ? y x2 ? y2 x2 ? y2 能否根据原方程组求u?u(x, y), v?v(x, y)的偏导数? 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂隐函数存在定理3 设 F ( x, y,u,v) G( x, y,u,v) 在 点P( x , y ,u ,v ) 的某一邻域内有对各个变量的连续 0 0 0 0 偏导数,且 F(x , y ,u ,v ) = 0, G( x , y ,u ,v ) = 0 0 0 0 0 0 0 0 0且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比式) ?(F,G) F F J ? ? u v ?(u,v) Gu Gv在点 P( x , y ,u ,v )不等于零,则方程组 0 0 0 0 F(x, y, u, v) ? 0, G (x, y, u,v) ? 0 在点(x0 , y0 )的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 ? u(x0 , y0 ), 的单值连续函数 v0 ? v(x0 , y0 ) u ? u(x, y), v ? v(x, y),且有偏导数公式 : 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂 ?u 1 ?(F,G) 1 Fx Fv ? ? ? ? (P34-P35) ?x J ?( x, v ) Fu Fv Gx Gv Gu Gv ?u 1 ?(F,G) 1 F F ? ? ? ? y v ?y J ?( y, v ) Fu Fv Gy Gv Gu Gv ?v 1 ?(F,G) 1 Fu F ? ? ? ? x ?x J ?(u, x ) Fu Fv Gu Gx G G定理证明略. u v ?v 1 ?(F,G) 1 Fu Fy仅推导偏导 ? ? ? ?数公式如下: ?y J ?(u, y ) Fu Fv Gu Gy Gu Gv 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂 ?F(x, y,u,v) ? 0 ?u ? u (x, y) 设方程组 ? 有隐函数组 ? ,则 ?G(x, y,u,v) ? 0 ?v ? v (x, y) ?F(x, y,u (x, y),v (x, y)) ? 0 ? ?G(x, y,u (x, y),v (x, y)) ? 0 ?u ?v ? ? ? ? Fx Fu ? Fv ? 0两边对 x 求导得 ? ?x ?x ? ?u ?v Gx ? Gu ? ? G ? ? 0 ?x v ?x ?u ?v 这是关于 , 的线性方程组 , 在点P 的某邻域内 ?x ?x F F 系数行列式 J ? u v ? 0, 故得 Gu Gv 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂二元线性代数方程组解的公式 ? a x ? b y ? c ? 1 1 1 ?a2 x ? b2 y ? c2 1 c b 解: x ? 1 1 a1 b1 c2 b2 a2 b2 1 a c y ? 1 1 a1 b1 a2 c2 a2 b2 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂 ? u 1 ?(F,G) ? ? ?x J ?( x, v ) ? v 1 ?(F,G) ? ? ?x J ?(u, x )同样可得 ? u 1 ?(F,G) ? ? ?y J ?( y , v ) ? v 1 ?(F,G) ? ? ?y J ?(u , y ) 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂 ?u ?u ?v ?v 例5. 设 x u ? y v ? 0, y u ? x v ? 1, 求 , , , . ?x ?y ?x ?y 解: 方程组两边对 x 求导,并移项得 ?u ?v x ? y ? ?u ?x ?x ?u ?v 练习: 求 , ?u ?v ?y ?y y ? x ? ?v ?x ?x 答案: ? u yu ? xv x ? y 2 2 ? ?由题设 J ? ? x ? y ? 0 2 2 y x ? y x ? y ? v xu ? yv ? u 1 ? u ? y xu ? yv ? ? ? ? ? ? 2 2 ? x J ? v x 2 ? 2 y x ? y故有 x y ? v 1 x ? u xv ? yu ? ? ? ? x J y ? v x2 ? y2 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂例6. 设y ? y(x), z ? z(x)是由方程 z ? x f (x ? y) 和 d z F(x, y, z) ? 0 所确定的函数 , 求 考研 d x . (99 ) 解 分别在各方程两端对 x 求导, 得 z? ? f ? x ? f ??(1? y?) ? x f ?? y? ? z? ? f ? x f ? ? ?? ? ? ? Fx ? Fy y Fz z 0 Fy ? y? ? Fz ? z? ? ?Fx ? x f ? f ? x f ? d z Fy ? Fx ( f ? x f ?)F ? x f ?? F? ? ? y x d x ? x f ? 1 F ? x f ?? F y z F F y z (Fy ? x f ?? Fz ? 0) 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂作业:p-89 习题9-52, 3 , 6, 7 , 8 , 10(1); (2) 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂 第五节隐函数的求导方法 一、一个方程所确定的隐函数及其导数 二、方程组的情形 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂本节讨论 :1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 x2 ? y ? C ? 0 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 . 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂 一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理1. 设函数 在点 F(x, y) P(x0 , y0 )的某一邻域内满足 ① 具有连续的偏导数; ② F(x0 , y0 ) ? 0; ③ Fy (x0 , y0 ) ? 0则方程 F(x, y) ? 0在点(x0 , y0 )的某邻域内可唯一确定一个单值连续函数 y = f (x) , 满足条件 y0 ? f (x0 ), 并有连续导数 dy F ? ? x (隐函数求导公式) dx Fy 定理证明从略,仅就求导公式推导如下: 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂设 y ? f (x) 为方程 F(x, y) ? 0 所确定的隐函数 , 则 F(x, f (x)) ? 0 两边对 x 求导 ?F ?F dy ? ? 0 ?x ?y dx 在 的某邻域内 (x0 , y0 ) Fy ? 0 dy F ? ? x dx Fy 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂 例1 验证方程x2?y2?1?0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x?0时y?1的隐函数y?f(x), 并求这函数的一阶与二阶导数在x?0的值. 解 设 F(x, y)?x2?y2?1,则 Fx?2x, Fy?2y, F(0, 1)?0, Fy(0, 1)?2?0.由隐函数存在定理, 方程x2?y2?1?0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x?0时y?1的隐函数y?f(x). ddyydy FFx F xx xddyydy ??????x ??x?????? ? ??00?? ?0 ? ddxxdx FFyyFy yy yddxxdxx?x?00x?0 2 2 2 2 ddydy 2 y yy??xyyx??y?xy? 11 1ddyyd 2 y ????? ? ????? ?? ? ? ????1?1? ?? 1 ? dxd2x2 2 y2y2 2 y3y3 3dxd2x2 2 dx y y dx?xx0?0x?0 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂 例2. 已知方程 sin y ? ex ? xy ?1 ? 0 在点(0,0)某邻域确定一个单值可导隐函数 y ? f (x), 求 dy d 2 y , dx x ? 0 dx2 x ? 0 解: 令F(x, y) ? sin y ? ex ? xy ?1, 则 x Fx ? e ? y, Fy ? cos y ? x x d y Fx ? ? ? ? ? e y dx Fy c o s y ? x dy ex ? y ? ? ? ? ?1 dx x 0 c o s y ? x x ? 0, y ? 0 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂 d 2 y d e x ? y ? ? ( ) dx2 x ? 0 dx cos y ? x x ? 0, y ? 0, y? ? ?1 x x ( e ? y ? ) ( c o s y ? x ) ? ( e ? y ) ( ? s i n y ? y ? ? 1 ) ? ? ? 2 x 0 (cos y ? x ) y ? 0 y? ? ?1? ?3 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂 定理2 .若函数 F(x, y, z)满足: ① 在点P(x0, y0, z0)的某邻域内具有连续偏导数 , ② F(x0 , y0, z0) ? 0 ③ Fz (x0 , y0, z0) ? 0则方程 F(x, y, z) ? 0 在点(x0 , y0 , z0 )某一邻域内可唯一确定一个单值连续函数 z = f (x , y) ,满 足 z0 ? f (x0 , y0 ),并有连续偏导数 ?z F ?z F ? ? x , ? ? y ?x Fz ?y Fz 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下: 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂 设 z ? f (x, y) 是方程 F(x, y) ? 0 所确定的隐函数 , 则 F(x, y , f (x, y ) ) ? 0 两边对 x 求偏导 ?z Fx ? F ? 0 z ?x 在 (x0 , y0 , z0 ) 的某邻域内Fz ? 0 ?z F ? ? x ?x Fz ?z F同样可得 ? ? y ?y Fz 山东农业大学 高等数学
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