• /  52
  • 下载费用: 29.9积分  

全国中等职业技术学校通用教材_数学(上)-3

'全国中等职业技术学校通用教材_数学(上)-3'
第3章 三角函数 3.1 角的概念推广 3.2 任意角的三角函数 3.3 三角函数的图像和性质 3.1 角的概念推广 完成“将这扇门打开60°”的动作有两种选择。你能否找出一种简明的方法区分出开门的方向? 假设目前的准确时间是8:45,左图里挂钟显示的时间(10:15)快了一个半小时.要校准此钟,必须将分针(长针)往回拨一圈半。分针被拨动一圈的时候,它被拨动的角度是多少?再拨半圈,分针又转过多少度?从开始拨动到完成校准,分针被拨动的角度一共是多少? 角的概念推广 在平面内一条射线绕它的端点O从位置OA旋转到任 意位置OB形成的图形称为角。射线的端点O称为角的顶 点。射线在旋转的初始位置OA称为角的始边,射线在 旋转的终止位置OB称为角的终边。角常用小写希腊字 母α、β、γ…示。 按逆时针方向旋转形成的角称为正角; 按顺时针方向旋转形成的角称为负角; 当一条射线不旋转时,我们也认为它形成了一个 角,称为零角。 一个角的大小可以超过360°。为了表达准确,我们在画一个角的时候,不仅要表示出旋转方向,而且要把形成这个角的旋转过程表示出来。 1.时钟从3点走到3点15分,分针旋转了多少度? 2.当把手表倒拨(逆时针)1小时20分钟,分针旋转了多少度? 3.分别画出以下各角: 150°、420°、750°、-120°、-390°。象限角与终边相同的角 在平面直角坐标系xOy中,把角的顶点放在原点O的 位置上,让角的始边与x轴的正半轴重合,这时角的终边 落在坐标系中的第几象限,就说这个角是第几象限角。 比如,45°角是第一象限角;-240°角是第二象限角; 585°角是第三象限角;300°角是第四象限角。 如果一个角的终边落在坐标轴上,就说这个角是轴 线角。例如,90°、-180°角都是轴线角。 在0°~360°范围内,各象限角的范围如下: α (0°, 90°) (90°,180°) (180°,270°) (270°,360°)象限 一 二 三 四 在0°~360°范围内,各轴线角的大小如下: 角度 0° 90° 180° 270° 位置 x正半轴 y正半轴 x负半轴 y负半轴思考 在同一坐标系中观察下面角的共同点? 30°、390°、750°、-330°、-690° 通过观察可以发现,这些角的终边位置是相同的。我们把它们称为是与30°终边相同的角。 很显然,与30°终边相同的角有无限多个。 30°=30°+0×360° 390°=30°+1×360° 750°=30°+2×360° -330°=30°+(-1)×360° -390°=30°+(-2)×360° 这样我们可以得到与30°角终边相同的角(含30°在内)的一般表达式为 β=30°+k·360°,k∈Z 由此推广,与α角终边相同的角(含α角在内)的一般表达式是: β=α+k·360° ,k∈Z 由此推广,轴线角的一般表达式如下 终边位置 一般表达式 x轴的正半轴 β=k·360°( k∈Z) x轴的负半轴 β=180°+k·360°( k∈Z) x轴 β=k·180°( k∈Z) y轴的正半轴 β=90°+k·360°( k∈Z) y轴的负半轴 β=270°+k·360°( k∈Z) y轴 β=90°+k·180°( k∈Z) 例题解析 例 下列各角中哪些角与40°的角终边相同? 390°、400°、–320°、320° 解 因为 390°=30°+360° 400°=40°+360° –320°=40°-360° 320°=-40°+360° 所以400°、–320°角与40°角终边相同(400°、-320°与40°的差值正好是360°的整数倍); 而390°、320°角与40°角终边不相同(390°、320°与40°的差值不是360°的整数倍)。 单击鼠标继续 1.下列各角是第几象限角?(如果是轴线角也请说明) 30°、 120°、 180°、 260°、300°、360°、390°、450°、-30°、-90°、 -120°、-180°、-230°、-330°。 2.下列各角中哪些角与80°的角终边相同? 440°、-280°、280°、400°。 弧度 我们规定,长度等于半径的圆弧对应的圆心角为1 弧度。弧度的单位符号是rad。 根据以上规定,在半径为r的圆中,长度为l的圆弧 对应的圆心角α的大小是 l ,即 r l ? ? rad r例如,圆周的长度是2πr,它对应的圆心角的大小是 2πr ? 2π rad因为圆周角用角度r表示为360°,所以可得出 360°= 2π rad 由此推广,可进行如下换算:例题解析 例1 用弧度表示下列各角的大小: 60°、 120°、 -60°、 -270° 解 π π 60?= ?60= 180 3 π 2π 120?= ?120= 180 3 π π ?60?=-( ?60)=- 180 3 π 3π ?270?=-( ? 270)=- 180 2 单击鼠标继续 例2 用角度表示下列各角的大小: π π 5π 2.5、 、 、 6 2 6解 180 450 2.5=( ?60)??2.5=( )? π π π 180 =( )?=30? 6 6 π 180 =( )?=90? 2 2 5π 5?180 =( )?=150? 6 6 单击鼠标继续 例3 求图中公路弯道处弧AB的长l。(单位:m,结果保留整数) π 解 由图示可知:r=48,? ? 6 0 ? ? 。 3 l 由圆心角公式 ? ? ,得 r π l=|α|·r= ×48≈50 m 3 所以弯道处AB的长约为50m。 单击鼠标继续 下表列出了一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°数弧 π π π π 2π 3π 5π 3π 0 π 2π度 6 4 3 2 3 4 6 2 采用弧度制后,与α角终边相同的角(含α角在内) 的一般表达式是: β=α+2kπ,k∈Z1.用弧度表示下列各角的大小:245°、420°、300°、-120°、-330°2.用角度表示下列各角的大小: 3、 5 π 、 3 π 、1 1 π 。 3 5 6 3.2 任意角的三角函数 锐角三角函数 在直角三角形OPM中,∠M是直角。角α的对边是a,邻边是b,斜边是c,则有 a b b sin? ? ,cos? ? ,tan? ? c c a 坐标系内的三角函数 以O 为原点,邻边OM所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐 标系。显然x,y就是角α的邻边 和对边长,r是斜边。由此,我 们得到: y x y sin? ? , cos? ? , tan? ? r r xxr 任意角三角函数的定义 以任意角α的顶点为原点O,角的始边为 x轴的正半轴,建立平面直角坐标系xOy,在 α的终边上任意取一点P(x,y),设点P到 原点的距离是r,则有 r ? | x |2 ? | y |2 ? x2 ? y 2 ? 0 我们规定: y y .比值 叫做 的正弦,记作 ,即 ? ?。 1 r α sinα s i n x rx 2.比值 叫做α的余弦,记作cosα,即 c o s ? ? 。 r r y y 3.比值 叫做α的正切,记作tanα,即 t a n ? ? 。 x x 这些比值都是角α的函数,分别叫做α的正弦函数, 余弦函数,正切函数,它们都是三角函数。 由于α+2kπ(k∈Z)表示的所有角的终边相同,根据三角函数的定义,它们的同名三角函数值相等,即 sin(α+2kπ)=sinα,k∈Z cos(α+2kπ)=cosα,k∈Z   tan(α+2kπ)=tanα,k∈Z 单位圆 以原点为圆心,半径长为1个单位的圆。 设角α的终边与单位圆的交点为P。根据三角函数的定义,由点P的坐标(x,y)可得以下公式: y y sin ? ? ? ? y r 1 x x cos? ? ? ? x r 1 y 在正切函数 t a n ? ? 中,由于分母x不能为零,所以 x角α的终边不能在y轴上。在弧度制下,正弦、余弦、正切函数的定义域如下表 三角函数 定义域 sinα、cosα R π tanα {? |? ? ? kπ,k ?Z} x 例题解析 例1 已知角α的终边经过点P(3,-4),求α的正弦、余弦及正切函数值。 解 由点P(3,-4)可知 x=3,y=-4,r = 32 + (- 4)2 = 5 所以 y ?4 4 sin? ? ? ? ? r 5 5 x 3 cos? ? ? r 5 y ?4 4 tan? ? ? ? ? x 3 3 单击鼠标继续 7例 求角 °和 ? π 的正弦、余弦和正切值 。 2 390 4 1 解 sin 390? ? sin(30? ? 360?) ? sin 30? ? 2 3 cos390? ? cos(30? ? 360?) ? cos30? ? 2 3 tan 390? ? tan(30? ? 360?) ? tan 30? ? 3 7 π π 2 sin(? π) ? sin( ? 2π) ? sin ? 4 4 4 2 7 π π 2 cos(? π) ? cos( ? 2π) ? cos ? 4 4 4 2 7 π π tan(? π) ? tan( ? 2π) ? tan ?1 4 4 4 单击鼠标继续 1.已知角α的终边上一点P(-3,-4),求α的正弦、余弦和正切函数值。 11 2.求角420°和 ? π 的三角函数值。 6 3.求下列特殊角的三角函数值: α(度) 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° α (弧度) sinα cosα 不存 不存在 tanα 在三角函数值的符号 三角函数值的符号总结如下: 第一象 第二象 第三象 第四象 三角函数 限的角 限的角 限的角 限的角 sinα + + - - cosα + - - + tanα + - + - 1.用>或<填空。 2π 2π 2πsin ____ 0, cos _____ 0, tan _____ 0 3 3 3 7π 7π 7πsin ____ 0, cos _____ 0, tan _____ 0 6 6 6 7π 7π 7πsin ____ 0, cos _____ 0, tan _____ 0 4 4 4 π π πsin(? ) ____ 0, cos(? ) _____ 0, tan(? ) _____ 0 3 3 3利用计算器求三角函数值 使用计算器求三角函数值时,角的大小、正负可以 是任意的;角的单位可以是度,也可以是弧度。因此在 计算三角函数值之前,必须先使用MODE键(或DRG 键),把计算器调到相应的状态。 另外,由于计算器型号不同,所按的键名及按键过 程稍有差异。因此,使用前应仔细阅读说明书。 例题解析 题 按键过程 显示结果 sin165° C E 1 6 5 sin 0.258819045 tan471° C E 4 7 1 tan -2.605089065 sin(-513°) C E 5 1 3 +/- sin -0.4539905 5 C E 5 × 2ndF EXP ÷ 8 =DRG sin π 0.923879533 8 sin 11 C E 11 × 2ndF EXP ÷ 7 = +/- cos(? π) 0.222520935 7 DRG cos 17 C E 17 × 2ndF EXP ÷ 6 = DRG tan π -0.577350269 6 tan sin(-2) C E 2 +/- DRG sin -0.909297427 用计算器计算下列各三角函数值。(结果保留4位有效数字) (1)sin231°   (2)cos(-175°)  6 (3)tan(-75°)  (4)s in π 5 11 17 (5)c o s ( ? π ) (6)t a n π 6 8同角三角函数的基本关系 π 根据三角函数的定义,只要α≠ +kπ( k∈Z),则 2 sin? y / r y r y ? ? ? ? ? tan x 又因为x2+coys2?=r2x,/ r所以r x x 2 2 ? y ? ? x ? y2 x2 x2 ? y2 r 2 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? sin cos ? ? ? ? 2 2 2 2 1 于是,得出同角三?角r 函? 数? 的r ?基本r 关系r : r r sin2 ? ? cos2 ? ?1 sin? π tan? ? ,? ? ? kπ(k ? Z) cos? 2 例题解析 3 例1 已知 s i n ? ? ,且α是第二象限的角,求cosα和 5tanα的值。 解 因为sin2α+cos2α=1,所以 2 2 2 ? 3 ? 16 cos ? ? 1? sin ? ? 1?? ? ? ? 5 ? 25 又因为α是第二象限的角,即cosα<0,所以 16 4 cos? ? ? ? ? 25 5 3 sin? 3 tan? ? ? 5 ? ? 4 cos? ? 4 5 单击鼠标继续 例2 化简下列三角函数式: (1? sin?)(1? sin?) (1) (270°<α<360°) cos? cos? ? sin? (2) 1 ?1 tan?解 (1)因为270°<α<360°,所以cosα>0。 (1? sin?)(1? sin?) 1? sin2 ? cos2 ? ? ? ? cos? cos? cos? cos? cos? ? sin? cos? ? sin? cos? ? sin? ? ? ? sin? (2) 1 cos? cos? ? sin? ?1 ?1 tan? sin? sin? 单击鼠标继续 3 π 1.已知 c o s ? ? ,0<α< ,求sinα和tanα的值。 5 2 4 2.已知 s i n ? ? ? ,且α在第三象限,求cosα和tanα的值。 5 3.化简下列三角函数式: sin? cos? (1)cosαtanα (2) 1? sin 2 ? 3.3 三角函数的图像和性质 用描点法完成正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图像。 列表: π π π 2π 5π 7π 4π 3π 5π 11π x 0 π 2π 6 3 2 3 6 6 3 2 3 6 y描点:以表中对应的x、y的值为坐标在坐标系中描点。连线:将所描各点顺次连接起来,即完成所画的图像。正弦函数y=sinx的图像和性质 正弦函数y=sinx的图像 把函数y=sin x在区间[0,2π]上的图像向左平移2π就 能得到正弦函数y=sinx在区间[-2π,0]上的图像。 把正弦函数y=sinx在区间[0,2π]上的图像向左、右分别平移2π、4π、6π…个单位,就能得到正弦函数y=sinx,x∈R的图像。 我们把正弦函数y=sinx(x∈R)的图像叫做正弦曲线。 由y=sinx,x∈[0,2π]的图像可以看出,下面五个点在确定图像形状时起着关键的作用: π 3π (0,0)、( ,1)、(π,0)、( ,-1)、(2π,0) 2 2 这五个点描出后,正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图像的形状就基本上确定了。今后,我们只要找出这五个点就可以描点画简图了。这种作图法称为五点法。 例题解析 例 用五点法画出函数y=sinx+1在[0,2π]上的简图。 分析 比较函数y=sinx+1和函数y=sinx可以看出,对同 一个x值,函数y=sinx+1的值比函数y=sinx的值大1。所以 , 函数y=sinx+1的图像与函数y=sinx的图像形状一样,但在坐 标系中的位置不同。 解 列表: 描点并连线: π 3π x 0 π 2π 2 2 sinx 0 1 0 -1 0sinx+1 1 2 1 0 1 单击鼠标继续正弦函数y=sinx的性质 (1)定义域:R。 (2)值域:[-1,1]。 (3)周期性: 由于终边相同的角的正弦函数值相等,即 sin(x+2kπ)=sinx,k∈Z。 所以 sinx在变化过程中,x每增大或减小2kπ(k∈Z 且k≠0),函数值重复出现,我们称y=sinx为周期函数;而2kπ(k∈Z 且k≠0)为它的周期(周期常用T表示),其中T=2π称为它的最小正周期。 今后我们所说的周期都是指最小正周期。 (4)对称性:正弦函数y=sinx的图像关于原点对称,即 sin(-x)=-sinx (5)单调性: π π 正弦函数y=sinx在区间 [ ? ,   ] 上是增函数,在区间 2 2 π 3π [ ,  ] 上是减函数。 2 2 用五点法作出下列函数在区间[0,2π]上的简图。(1)y=sinx-1  (2)y=2sinx余弦函数y=cosx的图像和性质 余弦函数y=cosx的图像 把余弦函数y=cosx 在区间[0,2π]上的图像 向左、右分别平移2π、 4π … 个单位,就能得到 余弦函数y=cosx,x∈R 的图像。 余弦函数y=cosx(x∈R) 的图像叫做余弦曲线。余弦函数y=cosx的性质(1)定义域:(-∞,+∞)(2)值域:[-1,1](3)周期性:余弦函数y=cos x是周期函数,它的周期是2π。(4)对称性:余弦函数y=cosx(x∈R)的图像关于y轴对称,即cos(-x)=cosx(5)单调性:在区间[0,π]上是减函数,在区间[π,2π]上是增函数。 π π1.将比较cos 与cos 值的大小。 5 7 3π π2.用五点法画出y=2cosx在区间 [ ? ,   ] 上的简图。 2 2正切函数y=tanx的图像和性质 正切函数y=tanx的图像 把正切函数y=tan x在x∈ π π (? , )上的图像向左或向右分 2 2 别平移π、2π、3π…个单位,就 能得到正切函数的图像,即正 切曲线。正切函数y=tanx的性质 π(1)定义域:{x | x ? kπ ? ,k ?Z} 2(2)值域:(-∞,+∞),没有最大值和最小值 (3)周期性:函数y=tan x是周期函数,周期是π(4)对称性:图像关于原点轴对称 π π(5)单调性:函
关 键 词:
全国中等职业技术学校通用教材_数学(上)-3 ppt、pptx格式 免费阅读 下载 天天文库
 天天文库所有资源均是用户自行上传分享,仅供网友学习交流,未经上传用户书面授权,请勿作他用。
关于本文
本文标题:全国中等职业技术学校通用教材_数学(上)-3
链接地址: https://www.wenku365.com/p-39782832.html
关于我们 - 网站声明 - 网站地图 - 资源地图 - 友情链接 - 网站客服点击这里,给天天文库发消息,QQ:1290478887 - 联系我们

本站为“文档C2C交易模式”,即用户上传的文档直接卖给(下载)用户,本站只是中间服务平台,本站所有文档下载所得的收益归上传人(含作者)所有【成交的100%(原创)】。本站是网络服务平台方,若您的权利被侵害,侵权客服QQ:1290478887 欢迎举报。

1290478887@qq.com 2017-2027 https://www.wenku365.com 网站版权所有

粤ICP备19057495号 

收起
展开