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时间:2019-07-11
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1、北师大版七年级数学下册乘法公式教案一、知识概述1、平方差公式 由多项式乘法得到(a+b)(a-b)=a2-b2. 即两个数的和与这两个数的差的积,等于它们的平方差.2、平方差公式的特征 ①左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数; ②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方); ③公式中的a和b可以是具体数,也可以是单项式或多项式; ④对于形如两数和与这两数差相乘的形式,就可以运用上述公式来计算.3、完全平方公式 由多项式乘法得到(a±b)2=a2±2ab+b
2、2 即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍. 推广形式:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca4、完全平方公式的特征 (a+b)2=a2+2ab+b2与(a-b)2=a2-2ab+b2都叫做完全平方公式,为了区别,我们把前者叫做两数和的完全平方公式,后者叫做两数差的完全平方公式. ①两公式的左边:都是一个二项式的完全平方,二者仅有一个符号不同;右边:都是二次三项式,其中有两项是公式左边两项中每一项的平方,中间是左边二项式中两项乘积的2倍,两者也仅有一个符号不同.
3、 ②公式中的a、b可以是数,也可以是单项式或多项式. ③对于形如两数和(或差)的平方的乘法,都可以运用上述公式计算.5、乘法公式的主要变式(1)a2-b2=(a+b)(a-b);(2)(a+b)2-(a-b)2=4ab;(3)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2);(4)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab(5)a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b). 熟悉这些变形公式,明确它们间联系,综合运用,常可简化解题过程. 注意:(1)公式中的a,b既可以表示单项式,也可以表示多项式. (2
4、)乘法公式既可以单独使用,也可以同时使用. (3)这些公式既可以正用,也可以逆用,因此在解题时应灵活地运用公式,以计算简捷为宜.二、典型例题讲解例1、计算:(1)(3a+2b)(2b-3a);(2)(x-2y)(-x-2y);(3);(4)(a+b+c)(a-b-c).分析: 相乘的两个二项式,只要它们有一项完全相同,另一项互为相反数,就符合平方差公式.相乘的结果是相同项的平方减去相反项的平方. 第(1)题的相同项是2b,相反项是3a与-3a. 第(2)题可以按第(1)题的方法计算,也可以先改变第二个因式的符号
5、再运算. 第(3)题应先计算,恰好可以运用平方差公式,所得的积再与相乘,又恰好能再用平方差公式计算. 第(4)题虽然不能直接运用平方差公式计算,但认真观察两个二项式中的相同项和相反项,就不难分组转化成平方差公式的结构形式.解: (1)原式=(2b+3a)(2b-3a) =(2b)2-(3a)2 =4b2-9a2 (2)原式=(-2y+x)(-2y-x) =(-2y)2-x2 =4y2-x2 (3)原式= = = (4)原式=[a+(b+c)][a-(b+c)]
6、 =a2-(b+c)2 =a2-(b2+2bc+c2) =a2-b2-2bc-c2例2、计算:(1)20042-19962(2)(x-y+z)2-(x+y-z)2(3)(2x+y-3)(2x-y-3).分析: 由于2004与1996的和是一个特殊数,(x-y+z)和(x+y-z)的和为一个单项式,所以此类问题总是可逆用平方差公式,(2x+y-3)和(2x-y-3)中相同项和相反项分组用公式.解: (1)20042-19962=(2004+1996)(2004-1996) =4
7、000×8=32000 (2)(x-y+z)2-(x+y-z)2 =[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)] =2x(-2y+2z)=-4xy+4xz (3)(2x+y-3)(2x-y-3)=[(2x-3)+y][(2x-3)-y] =(2x-3)2-y2=4x2-12x+9-y2 =4x2-y2-12x+9;例3、计算:(1)(3x+4y)2; (2)(-3+2a)2;(3)(2a-b)2; (4)(-3a-2b)2分析: 运用两数和的平方公式应正确理解
8、公式的特征,公式的左边是一个二项式的平方,显然四个小题都可以用完全平方公式,在运用公式时注意分清是用两数和,还是两数差.解:(1)原式=(3x)2+2·3x·4y+(4y)2 =9x2+24xy+16y2(2)原式=(-3)2+2·(-3)·2a+4a2 =4a2-12a+9(3)原式=(2a)2+2·2a·(-b)+
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