北师大版七年级数学下册乘法公式教案

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1、北师大版七年级数学下册乘法公式教案一、知识概述1、平方差公式  由多项式乘法得到(a+b)(a-b)=a2-b2.  即两个数的和与这两个数的差的积,等于它们的平方差.2、平方差公式的特征  ①左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数;  ②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方);  ③公式中的a和b可以是具体数,也可以是单项式或多项式;  ④对于形如两数和与这两数差相乘的形式,就可以运用上述公式来计算.3、完全平方公式  由多项式乘法得到(a±b)2=a2±2ab+b

2、2  即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍.  推广形式:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca4、完全平方公式的特征  (a+b)2=a2+2ab+b2与(a-b)2=a2-2ab+b2都叫做完全平方公式,为了区别,我们把前者叫做两数和的完全平方公式,后者叫做两数差的完全平方公式.  ①两公式的左边:都是一个二项式的完全平方,二者仅有一个符号不同;右边:都是二次三项式,其中有两项是公式左边两项中每一项的平方,中间是左边二项式中两项乘积的2倍,两者也仅有一个符号不同. 

3、 ②公式中的a、b可以是数,也可以是单项式或多项式.  ③对于形如两数和(或差)的平方的乘法,都可以运用上述公式计算.5、乘法公式的主要变式(1)a2-b2=(a+b)(a-b);(2)(a+b)2-(a-b)2=4ab;(3)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2);(4)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab(5)a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b).  熟悉这些变形公式,明确它们间联系,综合运用,常可简化解题过程.  注意:(1)公式中的a,b既可以表示单项式,也可以表示多项式.  (2

4、)乘法公式既可以单独使用,也可以同时使用.  (3)这些公式既可以正用,也可以逆用,因此在解题时应灵活地运用公式,以计算简捷为宜.二、典型例题讲解例1、计算:(1)(3a+2b)(2b-3a);(2)(x-2y)(-x-2y);(3);(4)(a+b+c)(a-b-c).分析:  相乘的两个二项式,只要它们有一项完全相同,另一项互为相反数,就符合平方差公式.相乘的结果是相同项的平方减去相反项的平方.  第(1)题的相同项是2b,相反项是3a与-3a.  第(2)题可以按第(1)题的方法计算,也可以先改变第二个因式的符号

5、再运算.  第(3)题应先计算,恰好可以运用平方差公式,所得的积再与相乘,又恰好能再用平方差公式计算.  第(4)题虽然不能直接运用平方差公式计算,但认真观察两个二项式中的相同项和相反项,就不难分组转化成平方差公式的结构形式.解:  (1)原式=(2b+3a)(2b-3a)     =(2b)2-(3a)2     =4b2-9a2  (2)原式=(-2y+x)(-2y-x)     =(-2y)2-x2     =4y2-x2  (3)原式=     =     =  (4)原式=[a+(b+c)][a-(b+c)]

6、     =a2-(b+c)2     =a2-(b2+2bc+c2)     =a2-b2-2bc-c2例2、计算:(1)20042-19962(2)(x-y+z)2-(x+y-z)2(3)(2x+y-3)(2x-y-3).分析:  由于2004与1996的和是一个特殊数,(x-y+z)和(x+y-z)的和为一个单项式,所以此类问题总是可逆用平方差公式,(2x+y-3)和(2x-y-3)中相同项和相反项分组用公式.解:  (1)20042-19962=(2004+1996)(2004-1996)         =4

7、000×8=32000  (2)(x-y+z)2-(x+y-z)2    =[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)]    =2x(-2y+2z)=-4xy+4xz  (3)(2x+y-3)(2x-y-3)=[(2x-3)+y][(2x-3)-y]    =(2x-3)2-y2=4x2-12x+9-y2    =4x2-y2-12x+9;例3、计算:(1)(3x+4y)2;  (2)(-3+2a)2;(3)(2a-b)2;   (4)(-3a-2b)2分析:  运用两数和的平方公式应正确理解

8、公式的特征,公式的左边是一个二项式的平方,显然四个小题都可以用完全平方公式,在运用公式时注意分清是用两数和,还是两数差.解:(1)原式=(3x)2+2·3x·4y+(4y)2     =9x2+24xy+16y2(2)原式=(-3)2+2·(-3)·2a+4a2   =4a2-12a+9(3)原式=(2a)2+2·2a·(-b)+

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