第7章第5节 (2)

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1、第七章 第五节1.(2014·宝鸡质检)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,…这样的数称为“三角形数”,而把1,4,9,16,…这样的数称为“正方形数”.如图,可以发现,任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和,下列等式中,符合这一规律的表达式是(  )①13=3+10;②25=9+16;③36=15+21;④49=18+31;⑤64=28+36.A.①④    B.②⑤    C.③⑤    D.②③解析:选C 这些“三角形数”依次是1,3,6,10,15,21,28,36,45

2、,…,且“正方形数”是“三角形数”中相邻两数之和,很容易得到:15+21=36,28+36=64,因此只有③⑤正确.故选C.2.给出下列三个类比结论:①(ab)n=anbn与(a+b)n类比,则有(a+b)n=an+bn;②loga(xy)=logax+logay与sin(α+β)类比,则有sin(α+β)=sinαsinβ;③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比,则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.其中结论正确的个数是(  )A.0    B.1    C.2    D.3解析:选B 由条件知只

3、有③正确.故选B.3.已知f1(x)=sinx+cosx,fn+1(x)是fn(x)的导函数,即f2(x)=f′1(x),f3(x)=f′2(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N*,则f2014(x)=(  )A.-sinx-cosx    B.sinx-cosxC.-sinx+cosx    D.sinx+cosx解析:选C 列举f2(x)=f′1(x)=cosx-sinx;f3(x)=f′2(x)=-sinx-cosx;f4(x)=f′3(x)=-cosx+sinx;f5(x)=f′4(x)=sinx

4、+cosx;……由此归纳得其周期为4,即fn(x)=fn+4(x),所以f2014(x)=f2(x)=-sinx+cosx,故选C.4.在下图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,那么x+y+z的值为(  )cos02sintanxyzA.1    B.2   C.3    D.4解析:选A 先算出三角函数值,然后根据每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,填表可得:1231x=y=z=所以x+y+z=++=1,故选A.5.(2012·江西高考)观察下列各式:a+b=1,a2+b2

5、=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=(  )A.28    B.76    C.123    D.199解析:选C 利用归纳法:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123.规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.故选C.6.(2014·长沙模拟)定义两个实数间的

6、一种新运算“*”:x*y=lg(10x+10y),x,y∈R.对于任意实数a,b,c,给出如下结论:①(a*b)*c=a*(b*c);②a*b=b*a;③(a*b)+c=(a+c)*(b+c).其中正确结论的个数是(  )A.0    B.1    C.2    D.3解析:选D ①因为a*b=lg(10a+10b),故(a*b)*c=lg(10a+10b)*c=lg(10lg(10a+10b)+10c)=lg(10a+10b+10c),同理a*(b*c)=a*(lg(10b+10c))=lg(10a+10lg(1

7、0b+10c))=lg(10a+10b+10c),故“*”运算满足结合律;②据定义易知运算符合交换律;③(a*b)+c=lg(10a+10b)+c=lg(10a+10b)+lg10c=lg(10a+10b)10c=lg(10a+c+10b+c)=(a+c)*(b+c),故结论成立;综上可知①②③均为真命题,故选D.7.观察下列不等式:①<1;②+<;③++<,…请写出第n个不等式________.解析:+++…+< 由归纳知第n个式子为+++…+<8.(2014·黄冈中学月考)在等差数列{an}中,若a1=0,s,

8、t是互不相等的正整数,则有等式(s-1)at-(t-1)as=0成立.类比上述性质,相应地,在等比数列{bn}中,若b1=1,s,t是互不相等的正整数,则有等式________成立.解析:=1 通过类比,等比数列的商对等差数列的差,故等式应是=1.9.(2014·宝鸡质检)已知2+=22×,3+=32×,4+=42×,…,若9+=92×(a,b为正整数),则

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