§ 2.5等比数列的前n项和1（课件）

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1、前n项和公式等比数列引入传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨·班·达依尔，舍罕王为了表彰大臣的功绩，准备对大臣进行奖赏。国王问大臣：“你想得到什么样的奖赏？”这位聪明的大臣达依尔说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒，在第二个格子内放上2颗麦粒，在第三个格子内放上4颗麦粒，在第四个格子内放上8麦粒，.……，依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的2倍的规律，放满棋盘的64个格子”国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊，为什么呢？（1）等比数列前n项和公式：________________________________

2、_________________.（2）上面推导等比数列前n项和公式的方法是:_____________.（一）等比数列的前n项和公式错位相减法例1.（1）求下列等比数列前8项的和：①，，，…；②a127，a9【解】（1）①由条件易，∴②由a127，a9，可得27q8，解得（1）等比数列前n项和公式：_________________________________________________.（2）上面推导等比数列前n项和公式的方法是:_____________.（一）等比数列的前n项和公式错位相减法例1.（1）求下列等比数列前8项的和

3、：①，，，…；②a127，a9【解】②由a127，a9，可得27q8，解得当时，；当q时，（一）等比数列前n项和公式的基本运算【解】若q1，则S33a16，符合题意，此时q1，a3a12.若q≠1，则由等比数列的前n项和公式得，即，化简整理得，解得q1(舍去)或q2.此时，a3a1q22×(2)28.（2）已知等比数列{an}中，a12，S36，求a3和q.综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.【注】（1）等比数列前n项和公式的使用条件是.利用该公式解题时，要注意对公比q是否为1进行讨论.（2）在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有

4、a1，an，n，q，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可通过方程组求出其余两个量（一）等比数列前n项和公式的基本运算变式1.在等比数列{an}中，S3＝，S6＝，求an.【解析】由已知∴又S3，S6∴，解得a1，q2.∴ana1qn－12n－2（二）等比数列前n项和的实际应用例2．某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?【解】根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同．所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列{an}，其中a1＝50

5、00，q＝1＋10%＝1.1，Sn＝30000.于是得到，整理，得1.1n＝1.6.两边取对数，得nlg1.1＝lg1.6.用计算器算得n(年)．∴大约5年可使总销售量达到30000台注：建立数列的模型，首先要确定数列类型，然后根据题意找准首项、公比和项数或者首项、末项和项数，特别关于年份的问题，一定要找准n的取值与年份的对应．等差数列等比数列与函数的关系公式一．前n项和公式与函数的关系（一）等比数列前n项和公式与函数的关系与函数的关系与函数的关系是关于序号n的二次函数，其图像是抛物线上一系列孤立的点，d决定了该抛物线的开口方向.设法求解时，常

6、设，然后用待定系数法求解.是关于n的一个指数式与一个常数的差构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．求解时，常设，用待定系数法.等差数列等比数列数列中的项与序号的关系性质1，…成等差数列，且公差为.性质2当的项数为偶数时，.…成等比数列，且公比为.二．性质对比当的项数为偶数时，.（二）等比数列前n项和的性质例3.在正项等比数列{an}中，Sn是其前n项和，若S10＝10，S30＝130，则S20的值为________．40变式3.在等比数列{an}中，已知，则()A．B．C．D．C（三）等比数列前n项和性质的应用【解】∵，解得∴，又也是等比数

7、列，且首项为，公比为∴.【本节课的目标】1．理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过程；2．能够应用前n项和公式解决等比数列的有关问题；3．进一步提高解方程（组）的能力，以及整体代换思想的应用能力.【重、难点】重点：探索并掌握等比数列前n项和公式.难点：等比数列前n项和公式的推导思路的获得小结