《1.2.2基本初等函数的导数公式（二）》课件

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1、1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)自主学习新知突破1．能利用导数的四则运算法则求解导函数．2．能利用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．[问题2]试求F(x)＝f(x)＋g(x)的导数．[问题3]F(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？[提示3]F(x)的导数等于f(x)，g(x)导数和．设两个函数分别为f(x)和g(x)导数的运算法则两个函数的和的导数[f(x)＋g(x)]′＝________________两个函数的差的导数[f(x)－g(x)]′＝__________

2、______两个函数的积的导数[f(x)·g(x)]′＝__________________两个函数的商的导数＝_____________________________f′(x)＋g′(x)f′(x)－g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)1．应用导数的运算法则应注意的问题(1)对于教材中给出的导数的运算法则，不要求根据导数定义进行推导，只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即可．(2)对于和差的导数运算法则，此法则可推广到任意有限个可导函数的和或差，即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)

3、]′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x)．复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝__________.即y对x的导数等于________________________________．复合函数的导数yu′·ux′y对u的导数与u对x的导数的乘积2．复合函数求导应注意的问题(1)简单复合函数均是由基本初等函数复合而成的，对于常用的基本函数要熟悉．(2)求复合函数的导数，关键要分清函数的复合关系，特别要注意中间变量．(3)要注意复合函数的求导法则与

4、四则运算求导法则的综合运用．1．已知函数f(x)＝cosx＋lnx，则f′(1)的值为()A．1－sin1B．1＋sin1C．sin1－1D．－sin1答案：A2．函数y＝sinx·cosx的导数是()A．y′＝cos2x＋sin2xB．y′＝cos2x－sin2xC．y′＝2cosx·sinxD．y′＝cosx·sinx解析：y′＝(sinx·cosx)′＝cosx·cosx＋sinx·(－sinx)＝cos2x－sin2x.答案：B3．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝______

5、__.解析：f(x)＝4x2＋4ax＋a2，∵f′(x)＝8x＋4a，∴f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1.答案：1(3)方法一：∵y＝(4x－x)(ex＋1)＝4xex＋4x－xex－x，∴y′＝(4xex＋4x－xex－x)′＝(4x)′ex＋4x(ex)′＋(4x)′－[x′ex＋x(ex)′]－x′＝ex4xln4＋4xex＋4xln4－ex－xex－1＝ex(4xln4＋4x－1－x)＋4xln4－1.方法二：y′＝(4x－x)′(ex＋1)＋(4x－x)(ex＋1)′＝(4xln4－1)·

6、(ex＋1)＋(4x－x)ex＝ex(4xln4＋4x－1－x)＋4xln4－1.合作探究课堂互动导数运算法则的应用根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，如综合了和、差、积、商几种运算的函数，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．解析：(1)y′＝(x2)′·ex＋x2·(ex)′＝2x·ex＋x2·ex＝(2x＋x2)·ex.(2)令u＝2x，y＝cosu，则yx′＝yu′·ux

7、′＝(cosu)′·(2x)′＝－2sin2x.复合函数的导数写出下列各函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则，求出函数的导数．(2)引入中间变量u＝φ(x)＝2008x＋8，则函数y＝cos(2008x＋8)是由函数f(u)＝cosu与u＝φ(x)＝2008x＋8复合而成的，查导数公式表可得f′(u)＝－sinu，φ′(x)＝2008.根据复合函数求导法则可得[cos(2008x＋8)]′＝f′(u)φ′(x)＝(－sinu)·2008＝－2008sinu＝－2008sin(2008x＋8)．(3)引

8、入中间变量u＝φ(x)＝1－3x，则函数y＝21－3x是由函数f(u)＝2u与u＝φ(x)＝1－3x复合而成的，查导数公式表得f′(u)＝2uln2，φ′(x)＝－3，根据复合函数求导法则可得(21－3x)′＝f′(u)φ′(x)＝2uln2·(－3)＝－3×2uln2＝－3×21－3xln2.复合函数求导的注意事项(1)求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量．(2)要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变