《1.6微积分基本定理》课件5

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1、1.6微积分基本定理问题引航1.微积分基本定理的内容是什么？2.定积分的取值符号有哪些？1.微积分基本定理(1)内容：如果f(x)是区间[a，b]上的_____函数，并且F′(x)=f(x)，那么f(x)dx=__________.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做___________________.(2)表示：为了方便，常常把F(b)-F(a)记成_____，即f(x)dx=_____=__________.连续F(b)-F(a)牛顿—莱布尼茨公式F(b)-F(a)2.定积分的符号由定积分的意义与微积分基本定理可知，定积分的值可能取正值也

2、可能取_____，还可能是__.(1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取___值，且等于曲边梯形的_____.(如图1)(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取___值，且等于曲边梯形的_____________.(如图2)负值0正面积负面积的相反数(3)当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为__，且等于位于x轴上方的曲边梯形面积_____位于x轴下方的曲边梯形面积.(如图3)0减去1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数.

3、()(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.()(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数.()【解析】(1)正确.由微积分基本定理知，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数.(2)正确.应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.(3)正确.应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数.否则所求积分值错误.答案：(1)√(2)√(3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)sinxdx=__________.(2)3

4、x2dx__________.(3)(2x-1)dx=2，则a=__________.【解析】2.(1)sinxdx=-cosx=-[cos1-cos(-1)]=0.答案：0(2)3x2dx=x3=13-(-1)3=2.答案：2(3)(2x-1)dx=(x2-x)=a2-a=2，解得a=2或a=-1(不合题意舍去)，故a=2.答案：2【要点探究】知识点微积分基本定理1.应用微积分基本定理求定积分的注意事项(1)微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系，揭示了被积函数与函数的导函数之间的互逆运算关系，为计算定积分提供了一个简单有效的方法——转化为计

5、算函数F(x)在积分区间上的增量.(2)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F′(x)=f(x)的函数F(x)再计算F(b)-F(a).(3)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简被积函数，再求定积分.2.常见函数的定积分公式(1)Cdx=Cx(C为常数).(2)xndx=xn+1(n≠-1).(3)sinxdx=-cosx.(4)cosxdx=sinx.(5)dx=lnx(b＞a＞0).(6)exdx=ex.(7)axdx=(a＞0且a≠1).【微思考】(1)如果f(x)dx=g(x)dx，那么是否一定有f(x)=g(x)？请举例说明.

6、提示：不一定，例如：当f(x)=2x，g(x)=3x2时，2xdx=3x2dx，但f(x)≠g(x).(2)“因为被积函数f(x)的原函数不唯一，所以f(x)dx也不唯一.”这种说法正确吗？为什么？提示：这种说法不正确，虽然被积函数的原函数不唯一，但积分值是原函数在区间端点值的差，差值是唯一确定的.即积分值是确定的.【即时练】1.若a=(x-2)dx，则被积函数的原函数为()A.f(x)=x-2B.f(x)=x-2+CC.f(x)=x2-2x+CD.f(x)=x2-2x2.下列积分值等于1的是()A.xdxB.(x+1)dxC.dxD.1dx【

7、解析】1.选C.因为(x2-2x+C′)=x-2，所以(x-2)dx中被积函数的原函数为f(x)=x2-2x+C.2.选D.xdx=x2=，(x+1)dx=(x2+x)=dx=x=，1dx=x=1.【题型示范】类型一定积分求法【典例1】(1)(2014·陕西高考)定积分(2x+ex)dx的值为()A.e+2B.e+1C.eD.e-1(2)f(x)=求f(x)dx.【解题探究】1.题(1)中的被积函数的原函数是什么？2.题(2)中求f(x)dx需要分成哪几段？【探究提示】1.原函数为f(x)=x2+ex.2.需要分成两段，一段是(1+2x)dx，

8、另一段是x2dx.【自主解答】(1)选C.(2x+ex)dx=(x2+ex)=1+e-1=e.(2)f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx=(1+2