a047第七章第六节空间向量及其运算

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1、第七章立体几何第六节空间向量及其运算抓基础明考向提能力教你一招我来演练[备考方向要明了]考什么1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用数量积判断向量的共线与垂直.怎么考从高考内容上来看，空间向量的概念及其运算在命题中单独命题较少，多置于解答题中作为一种方法进行考查，难度中等.一、空间向量及其有关概念语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线．共面向量平行于的向量．共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，

2、a∥b⇔存在λ∈R，使.平行或重合同一平面a＝λb语言描述共面向量定理若两个向量a、b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝.空间向量基本定理(1)定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝.(2)推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝.1xa＋yb＋zcxa＋yba·b＝0a2a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝向量差a－b＝向量积a·b＝共线a∥b⇒(λ∈R)2．向量的坐

3、标运算(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝b1，a2＝b2，a3＝b3垂直a⊥b⇔夹角公式cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝0答案：B答案：A答案：D4．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(a＋b)·(a－b)的值为________．答案：－13解析：a＋b＝(10，－5，－2)a－b＝(－2,1，－6)∴(a＋b)·(a－b)＝－13.5．已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为________．1．用空间向量解决立体几何中

4、的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．2．空间向量的加法、减法经常逆用，来进行向量的分解．3．几何体中向量问题的解决，选好基底是关键．[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)答案：D[冲关锦囊]用已知向量来表示未知向量．一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．灵活运用三角形法则及四边形法则.其中真命题的个数是()A．1B．

5、2C．3D．4答案：B[冲关锦囊]应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：题目条件不变，若λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直，求λ，μ应满足的关系．解：∵a＋b＝(0,1,2)，a－b＝(2,1，－2)，∴λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(2μ，λ＋μ，2λ－2μ)．∵λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直，∴(2μ，λ＋μ，2λ－2μ)·(0,0,1)＝2λ－2μ＝0，即当λ，μ满足关系λ－μ＝0时，可使λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直．[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)3．(2012·寿光模拟)如图，在30°的二面角α－

6、l－β的棱上有两点A、B，点C、D分别在α、β内，且AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝AB＝1，则CD的长度为________．[冲关锦囊]1．应用数量积解决问题时一般有两种方法：一是取相互之间夹角已知，模已知的基向量为基底表示题中的向量再计算，二是建立空间直角坐标系利用坐标运算来解决，后者更为简捷．2．在求立体几何中线段的长度时，转化为求a·a＝

7、a

8、2，或利用空间两点间的距离公式．解题样板（十一）构造法在空间向量运算中的应用答案：B[模板建构]上述解法一构造了特殊的几何体——正四面体，并应用了正四面体的对棱相互垂直的结论，属于特例法在选择题中的应用．解法二

9、选取基向量．运用线性运算化归后求得结果．解答本题易出现由于参与运算的向量较多，找不到突破口，无从下手，盲目选择而导致出错的现象．点击此图进入