《异面直线所成的角》进阶练习（一）

《《异面直线所成的角》进阶练习（一）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、《异面直线所成的角》进阶练习一、选择题.已知正四面体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）.        .        .        ..已知正四棱柱中，，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（　　）.        .        .        ..棱长为的正方体中，点，分别在线段，上，且，给出以下结论：①⊥；②四面体的体积为；③异面直线，所成的角为°；④⊥，⊥．其中正确的结论的个数为（　　）                                                      二、填空题.正方体′′′′中，点为的中点，为的中点，则与所

2、成角的余弦值为．三、解答题.已知圆锥母线长为，底面圆半径长为，点是母线的中点，是底面圆的直径，底面半径与母线所成的角的大小等于θ．（）当θ°时，求异面直线与所成的角的余弦值；（）当三棱锥的体积最大时，求θ的值．参考答案..解：（）连，过作⊥交于点，连．又，∴．又，．∵∥，∴∠等于异面直线与所成的角或其补角．∵∥，∴∠°或°．当∠°时，∴．∴，当∠°时，∴．∴，综上，异面直线与所成的角余弦值等于或．（）∵三棱锥的高为且长为，要使得三棱锥的体积最大只要底面积△的面积最大．而当⊥时，△的面积最大．又⊥，此时⊥平面，∴⊥，θ°．.  解：如图，取中点，连接，，∵为的中点，∴∥，则∠为异面直线与

3、所成的角，∵为正四面体，，分别为，的中点，∴．设正四面体的棱长为，则，．在△中，由余弦定理得：．故选：．由为的中点，可取中点，连接，则∠为异面直线与所成角，设出正四面体的棱长，求出△的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线与所成角的余弦值．本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．.  解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由已知得（，，），（，，），（，，），（，，），（，，），（，，），＜＞．∴直线与所成角的余弦值为．故选：．以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦

4、值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．.  解：对于①，分别作⊥，⊥，垂足分别为、，连结由利用正方体的性质，可得四边形为平行四边形∴∥，可得∥平面∵⊥平面，∴⊥，因此可得①正确；对于②，四面体的体积为×，得到②正确；对于③，连结、，得∠就是异面直线，所成的角∵△是等边三角形，∴∠°因此异面直线，所成的角为°，得到③正确；对于④，根据⊥平面，得到⊥，由正方形中证出⊥，所以⊥平面，结合⊂平面，得⊥，同理可证出⊥，从而得到④正确综上所述，四个命题都是真命题故选：．根据正方体的性质和线面平行、性质的性质，可证出⊥，得到①正确；根据正方体、锥体的体积公式加以计算，可得四面体

5、的体积为，得到②正确；根据异面直线所成角的定义与正方体的性质可得异面直线，所成的角为°，得到③正确；利用线面垂直的判定与性质，结合正方体的性质可证出⊥且⊥，得到④正确．即可得到本题答案．本题给出正方体中的几个结论，判断其正确与否，着重考查了正方体的性质、线面垂直与平行的判定与性质、异面直线所成角的定义与求法和锥体体积公式等知识，属于中档题．.  解：如图所示，取正方体的棱长为．（，，），（，，），（，，），（，，）．∴（，，），（，，）．∴．∴与所成角的余弦值为．故答案为：．通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可得出．本题考查了建立空间直角坐标系并利用向量的夹角公式求异面直线的

6、夹角方法，属于基础题．.  （）首先，作辅助线：连，过作⊥交于点，连，然后，得到∠或其补角即为所求，最后，求解即可；（）借助于体积公式，分析得到：当⊥时，△的面积最大，进一步求解即可．本题重点考查了异面直线所成的角、棱锥的体积计算、空间中垂直关系和平行关系等知识，属于中档题．