【教学设计】《等差数列的前n项和》（人教）-1-2

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1、《等差数列的前项和》◆教学目标、知识与技能（）通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；（）能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；（）体会等差数列与一次函数的关系。、过程与方法（）通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第项与倒数第项的和等于首项与末项的和这个规律；（）由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。、情感态度与价值观培养学生利用学过的知识解决与现实有

2、关的问题的能力。◆教学重难点◆【教学重点】探索并掌握等差数列的前项和公式；学会用公式解决一些实际问题，体会等差数列的前项和与二次函数之间的联系。【教学难点】等差数列前项和公式推导思路的获得，灵活应用等差数列前项公式解决一些简单的有关问题。◆教学过程（一）新课导入泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这

3、个图案一共花了多少宝石吗？获得算法：思考　高斯用＋＋＋…＋＝(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＝×迅速求出了等差数列前项的和。但如果是求＋＋＋…＋，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？答案：不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对。但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：设＝＋＋＋…＋(－)＋，又＝＋(－)＋(－)＋…＋＋，∴＝(＋)＋[＋(－)]＋…＋[(－)＋]＋(＋)，∴＝(＋)，∴＝.（二）新课讲授等差数列的前项和公式问题：如何求数列的前项和？如果把两式左右两端相加，将会有什么结果？∵∴由此得：思考若已知及公差，结果会怎样呢？代入公式即得：比较两个公式

4、的异同在等差数列{}中，如果已知五个元素,,,,中的任意三个,请问:能否求出其余两个量?，结论：知三求二，解题思路一般是:建立方程(组)求解思考　如果{}是等差数列，那么＋＋…＋，＋＋…＋，＋＋…＋是等差数列吗？答案：(＋＋…＋)－(＋＋…＋)＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝＝，类似可得(＋＋…＋)－(＋＋…＋)＝.∴＋＋…＋，＋＋…＋，＋＋…＋是等差数列。经过推导我们有如下结论：　()，，分别为等差数列{}的前项，前项，前项的和，则，－，－也成等差数列，公差为。()若等差数列的项数为(∈*)，则＝(＋＋)，且偶－奇＝，＝。()若等差数列的项数为－

5、(∈*)，则－＝(－)，且奇－偶＝，奇＝，偶＝(－)·，＝。（三）例题探究例　已知一个等差数列{}的前项的和是，前项的和是，由这些条件能确定这个等差数列的前项和的公式吗？解：方法一　由题意知＝，＝，将它们代入公式＝＋，得到解方程组得∴＝×＋×＝＋.方法二　＝＝⇒＋＝，①＝＝⇒＋＝，②②－①得－＝，∴＝，∴＝，＝.∴＝＋＝＋.跟踪训练　在等差数列{}中，已知＝，＝，＝，求和.解　由得解方程组得或例　()等差数列{}的前项和为，前项和为，求数列{}的前项的和；()两个等差数列{}，{}的前项和分别为和，已知＝，求的值。解：()方法一　在等差数列中，∵

6、，－，－成等差数列，∴，－成等差数列。∴×＝＋(－)，∴＝。方法二　在等差数列中，，，成等差数列，∴＝＋。即＝(－)＝×(－)＝。()解：＝＝＝＝＝.例若{}前项为＝＋＋，求{}通项公式。解：当≥时，＝－－＝(＋＋)－[(－)＋(－)＋]＝－当＝时，＝＝＋＋＝不符合①式。∴＝跟踪训练　已知数列{}的前项和＝，求。解　当＝时，＝＝；当≥时，＝－－＝－－＝·－当＝时，代入＝·－得＝≠∴＝例甲、乙两物体分别从相距的两处同时相向运动，甲第分钟走，以后每分钟比前分钟多走，乙每分钟走。()甲、乙开始运动后几分钟相遇？()如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继

7、续每分钟比前分钟多走，乙继续每分钟走，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解：()设分钟后第次相遇，依题意，有＋＋＝，整理得＋－＝.解之得＝，＝－(舍去)。所以第次相遇是在开始运动后分钟。()设分钟后第次相遇，依题意，有＋＋＝×，整理得＋－＝.解之得＝，＝－(舍去)。所以第次相遇是在开始运动后分钟。（四）课堂检测、在等差数列{}中，若＝，则＋的值是(　　)、、、、答案：解析：由＝，得＋＝＝＝。、记等差数列的前项和为，若＝，＝，则该数列的公差等于(　　)、、、、答案：解析：方法一　由解得＝。方法二：由－＝＋＝＋＋＋＝＋，所以－＝＋，解得＝。、已知数列{

8、}中，＝－＋，数列{}的每一项都有＝，求数列{}的前项和的表达式。解：由＝－＋得＝－－＝－(≥，∈*)。验证＝也符合上式。∴＝－，∈*.