chap6数理统计的基本概念

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1、第六章数理统计的基本概念绪言数理统计包括两大内容：一、试验的设计和研究-----研究更合理、更有效、更精确地获取观察资料的方法。二、统计推断------研究如何利用一定的资料对所关心的问题作出尽可能精确、可靠的结论。例为了解南京市民2002年收入情况，现抽样调查10000人的收入。问题：1.怎样从10000人的收入情况去估计全体南京市民的平均收入？怎样估计所有南京市民的收入与平均收入的偏离程度？2.若市政府提出了全体南京市民平均收入应达到的标准，从抽查得到的10000人收入数据，如何判断全体南京市民的平均收入与收入标准有无差异？差异是否显著？3.抽查得

2、到的10000人的收入有多有少，若这10000人来自不同的行业，那么，收入的差异是由于行业不同引起的，还是仅由随机因素造成的？4.假设收入与年龄有关，从抽查得到的10000人收入和年龄的对应数据，如何表述全体南京市民的收入与年龄之间的关系？问题1实质：从10000人的收入出发，估计全体南京市民收入分布的某些数字特征(此处是期望和方差)。-----在数理统计中，解决这类问题的方法称为参数估计。问题2实质：根据抽查得到的数据，去检验总体收入的某个数字特征(此处是期望)与给定值的差异。-----在数理统计中，解决这类问题的方法称为假设检验。问题3实质：分析数

3、据误差的原因(此处是行业)。当有多个因素起作用时，还要分析哪些因素起主要作用。-----在数理统计中，解决这类问题的方法称为方差分析。问题4实质：根据观察数据研究变量间(此处是收入与年龄间)的关系。-----在数理统计中，解决这类问题的方法称为回归分析。第一节随机样本一、总体在数理统计中，将所研究的对象的某项指标值的全体称为总体(或母体)，而将构成总体的每个单位称为一个个体。当总体中包含的个体总数是有限的，就称总体为有限总体，否则称总体为无限总体。设待研究的指标为X，由于X的取值是对随机抽取的个体观察得到的，因而可将X视为随机变量，并设其分布函数为F(

4、x)。定义6.1一个随机变量X(或其分布函数F(x))叫做一个总体，X的每个可能值叫做一个个体。二、样本从总体X中，随机地抽取n个个体进行观察，可得到n个观察值，将其依抽取的顺序记为若将总体在进行第i次抽样时对应的随机变量记为，则就是的观察值。我们提出以下要求：与X同分布；2.相互独立。抽样方式为重复抽样实际应用中，一般当有限总体中包含个体数目N>10n时，即使采用不重复抽样，也认为要求满足。定义6.2若相互独立，且均与总体X有相同分布，则称随机向量()为总体X的一个容量为n的简单随机样本(简称样本)，称n为样本容量。设的观察值为，称()为X的一个样本

5、观察值(样本点)，称={()}为样本空间。说明：1.是样本观察值全体所成集合，是n维空间上的点集，它不是总体X的样本空间。在一次抽样之前，我们只知道样本()(n维随机变量)，而在抽样之后，则得到一个具体的n维实向量()，它是中的一个点，故称其为样本点。注意：对任何总体X，其容量为n的样本是唯一的，而每次抽样得到的样本观察值一般说来是不同的。设X的分布函数为F(x)，由定义6.2，X的容量为n的样本的第i个分量的分布函数为因相互独立，故分布函数为若X是离散型随机变量，其分布律为P(X=)，i=1，2，….则的分布律为若X是连续型随机变量，其密度函数

6、为f(x)，则的密度函数为三、样本分布函数问题：用样本观察值推断总体，其结论可靠吗？解决问题的途径：根据抽样得到的样本观察值构造一个函数----样本分布函数，再证明当n很大时，样本分布函数近似于总体的分布函数。定义6.3设总体X的一组样本观察值为，将这组值依大小顺序重排成。构造函数称为样本分布函数(或称经验分布函数)。说明：1.在定义6.3中，k/n是不大于x的样本观察值出现的频率。2.对总体进行两次抽样，会得到两组不同的样本观察值，因而就会产生两个不同的样本分布函数。3.样本分布函数是一个阶梯函数：设则当，有当，有即：在处有的跃度。5.当n越大，的图

7、形与总体分布函数F(x)的图形越近似。6.由贝努利大数定律或W.格列汶科定理(1953)可从理论上证明：当n很大时，有4.容易证明：确是某随机变量的分布函数，且有第二节抽样分布一、统计量定义6.4(教材p159)设是总体X的一个样本，是不含任何未知参数的连续函数，则称是一个统计量。若是一个统计量，是一组样本观察值，则称是的一个观察值。二、样本数字特征定义6.5(教材p160)设是总体X的一个样本，称以下统计量为样本数字特征：当k为正整数，称设为来自总体X的样本，为来自总体Y的样本，称说明：1.样本原点矩反映样本的平均特征，样本中心矩反映样本的离散特征，

8、样本协方差反映两个样本的相关程度。2.样本数字特征是随机变量，但对一组样本观察值，得到的样本数