chapter3有限元分析的数学求解原理

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1、Chapter3有限元分析的数学求解原理邮箱：lihongyan@sdut.edu.cn手机：13864432652txlxjyxy@yahoo.cn123456一般说来，求解方程的途径有两大类：1）直接针对原始方程进行求解（解析法、半逆解法以及有限差分法）2）间接针对原始方程进行求解（加权残值法、虚功原理、最小势能原理以及变分方法等）直接解法——解析法：解析法从力平衡关系、几何关系以及物理关系出发，推导出一个或一组关于应力或者关于应变、有时是同时含有应力、应变的微分方程或偏微分方程，通过求解微分方程，解出应力、应变和变形量。工程中，常采用的解析方

2、法有材料力学中对杆件的分析，弹性力学中平面问题的求解，板壳理论等。解析法的很多基本理论是建立在一些简化的假设基础之上的，经过大量的工程实践，被证明能很好的符合构件实际工作情况，已成为成熟的理论。解析法得到的结果是未知量（应力、应变等）的函数解，可直接得到结构中任意点的精确解。解析法在分析理论问题以及一些工程问题时起着重要作用。但是解析法在应用到一些形状复杂或应力分布复杂的结构时，往往由于数学上的问题而显得无能为力，因而使解析法在应力分析中的应用受到限制。——根据问题的性质，确定基本未知量和相应的基本方程，并且假设一组满足全部基本方程的应力函数或位移

3、函数。然后在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的物体，其表面将受什么样的面力作用或者将有什么样的位移。直接解法——逆解法：——对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状，受力特征和变形特点，或已知简单结论，如材料力学解，假设部分应力分量或者部分位移分量的函数形式为已知，由基本方程确定其他的未知量，然后根据边界条件确定未知函数中的待定系数。直接解法——半逆解法：逆解法和半逆解法的应用将在以后的章节中介绍，其求解过程带有“试算”的性质。直接解法——有限差分法：有限差分法：微分方程和积分微分方程数值解的方法。其基本思想是：有限差分方法(fin

4、itedifferencemethod)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。有限差分格式格式精度：一阶格式、二阶格式和高阶格式。差分的空间形式：中心格式时间因子：显格式、隐格式、显隐交替格式等。构造差分的方法有多种形式，目

5、前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。间接解法——加权残值法：是一种应用广泛的求解微分方程的方法.该方法先假定一族带有待定参数的定义在全域上的近似函数,该近似解不能精确满足微分方程和边界条件,即存在残差.在加权平均的意义下消除残差,就得到加权残值法的方程.由于试函数定义在全域上,所得方程的系数矩阵一般为满阵.选取不同的权函数,可得到不同的

6、加权参量法.虚功原理定义：弹性体处于平衡状态，对于满足变形连续条件的分量在对应的虚应变上所做的虚功，即虚应变能。最小势能原理要求最后得间接解法——虚功原理：应变能应变余能应变能应变余能间接解法——最小势能原理：有限元上的应用（位移法）：假设单元位移模式单元刚度方程把一个物理学问题用变分法化为求泛函极值（或驻值）的问题，后者就称为该物理问题的变分原理。如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。在当代，变分原理已成为有

7、限元法的理论基础，而广义变分原理已成为混合和杂交有限元的理论基础。在实际应用中，通常很少能求出精确的解析解，因此大多采用近似计算方法。间接解法——变分原理：1）假定2）将上式代入泛函，计算变分。3）由极值条件，算出待定常数，使之满足基本微分方程。4）把得到的常数代回，得到所求问题的解。与有限元方法比较：相同点：都是求解极值问题的方法，方法类似。不同点：求解问题区域不同：局部和整体关系。对于泛函工程问题无论是几何形状、受力方式还是材料特性都是前变万化的，因此一种求解方法是否有优势，其判断标准应该是具有良好的规范性（不需要太多的经验和个人技巧）具有良好

8、的适应性（可以处理任何复杂的工程实际）具有良好的可靠性（计算结果收敛稳定，精度高）具有良好的求解可行性（计算工作量）本章主