chp1.5n阶行列式的性质

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1、1.一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．2.行列式的几种表示方法课前复习1（2）定理1.3.1一般地，行列式也可定义为其中为行标排列的逆序数，为列标排列的逆序数.（1）n阶对角行列式4、几个特殊行列式的结果(2)下三角形行列式（3）上三角形行列式（4）上三角形行列式（5）下三角形行列式当n4时,用定义计算n阶行列式将是十分复杂甚至是不可能的.下面将讨论行列式的性质,并用这些性质来简化行列式的计算.(证明不重要,但必须记住以下所述的性质及其推论并用它们来计算行列式)§1.5n阶行列式的性质及计算4一、行列式的性质行列式DT称为行列

2、式D的转置行列式.即把行列式D中的行与列按原顺序互换(第1行换成第1列,第2行换成第2列,……，以此类推，直到最后一行）以后得到的行列式，称为D的转置行列式，也可记为D’记5性质1行列式与它的转置行列式相等.如则如6性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.又如,571-571.825-825例如注：1.以后用记号ri↔rj表示第i行和第j行对换；而用记号ci↔cj表示第i列和第j列对换。这里r是英文row(行）的第一个字母；而c是英文column(列）的第一个

3、字母。2.遇到互换两行或两列要记得行列式变号。8例：求行列式的值。解：-此为对角形行列式。对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积9推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明互换相同的两行，有所谓两行(或列)相同指的是两行(或列)元素对应都相等如10性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.注：以后用k×ri表示k乘第i行；而用k×ci表示k乘第i列。11推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．例如第i行（或列）提出公因子k，记作ri÷k（ci÷k）。12练习1设

4、求解利用行列式性质,有推论2行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．证明14如又如15性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和：例如16由行列式定义,性质4显然成立.此性质说明行列式中某一行(列)的元素均是两数之和时,该行列式就可按此行(列)拆成两个行列式之和.例如17又如18例如果三阶行列式D3=

5、aij

6、=m,求行列式D的值：解：性质4第一行和第二行相同,据性质2推论，此行列式为0第二列存在公因子(-1),据性质3推论2，可以把(-1)提出来注：此例说明了在计算行列式时，性质的运用不是孤立的

7、。19推论如果将行列式某一行(列)的每个元素都写成m个数(m为大于2的整数)的和,则此行列式可以写成m个行列式的和.例20性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式值不变．例如21注：以后用rj+k×ri表示用比例k乘第i行的各个元素并加到第j行的相应元素上(特别地，当k=-1时表示rj-ri，而k=+1时表示rj+ri)；而用cj+k×ci比例k乘第i列的各个元素并加到第j列的相应元素上。(特别地，当k=-1时表示cj-ci，而k=+1时表示cj+ci)例如又如从此例说明运用行列式的性质可以简

8、化行列式的计算22问题2：如果行列式有两行或两行以上的行都有公因子，那么按性质3推论1应如何取？答案：按顺序将公因子提出，如行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．23例计算行列式解:因为第一列与第二列对应元素成比例,根据性质3的推论2行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．得24例若四阶行列式D4=

9、aij

10、=m,则D=

11、3aij

12、=?分析：D4=

13、aij

14、D=

15、3aij

16、解：根据性质3的推论1从行(或列)看，每行(或每列)都存在公因子3，因此可以分别提出来，共有4个因子3。D=

17、3aij

18、==34

19、a

20、ij

21、=81m行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．得25特别地，若阶行列式26则复习性质1行列式与它的转置行列式相等.性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．推论2行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．27复习性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则D可以写成两个行列式之和.性质5把行列式的某

22、一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式值不变．推论如果将行列式某一行(列)的每个元素都写成m个数(m为大于2的整数)的和,则此行列式可以写成m个行