函数单调性、奇偶性、周期性与对称性

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1、函数单调性、奇偶性、周期性与对称性一．主要内容：函数单调性、奇偶性、周期性与对称性 二．重点难点：1.在定义域内讨论函数单调性，并会求单调区间。2.运用函数奇偶性定义判断并证明函数具有的奇偶性质。3.求周期函数周期，利用函数周期性、对称性，求某一点处函数值，求函数解析式或讨论函数其它性质。 三．具体知识：(一).单调性：1.在定义域范围内，单调区间可开可闭。2.单调区间是定义域的子区间。3.一个函数的两个区间都是增区间（或都是减区间），不能将它们写成并集，要画图考虑。4.证明一个函数的单调性，在大题中，只能用定义法和倒数法。（但在小

2、题中可以用“增+增=增；减+减=减”）5.只有取倒数和求负数两种情况会改变函数的单调性。（开根号等不影响其单调性）6.复合函数：内外层函数：同增异减函数相加：增+增=增；减+减=减“同增异减法则”：对于复合函数y=f[g(x)]，若t=g(x)在区间（a,b）上是单调增（减）函数，且y=f(t)在区间(g(a),g(b))（或者g(b)，g(a)）上是单调函数，那么函数y=f[g(x)]在区间（a,b）上的单调性由以下表格所示，实施该法则时首先应考虑函数的定义域。例：1.利用奇偶性求单调性：奇函数在对称区间上，单调性相同。偶函数在对

3、称区间上，单调性相反。例：【典型例题】例1.增函数还是减函数，并加以证明。例2.例3.(一)奇偶性：奇*奇=偶奇+奇=奇偶*偶=偶偶+偶=偶奇*偶=奇奇+偶=非奇非偶奇函数：偶函数：【典型例题】例1.判断下列函数的奇偶性：(一)周期性：关于函数的周期性，下面结论是成立的：（1）若T为函数f(x)的一个周期，则kT也是f(x)的周期（k为非零整数），这就是说，一个函数如果有周期，就有无数多个。在所有的周期中，如果存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做函数的最小正周期。期，其中ω≠0。据此，我们经常通过一些基本初等函数的周期，求出相

4、应的复合型函数的周期。例1（1）求证：f(x)是周期函数，并确定其周期。（2）求当1≤x≤2，求f(x)的解析式。(一)对称性：关于对称性，这里只讨论一类函数图象的轴对称问题：设a，b均为常数，若函数f(x)特殊的，当a=b时，函数f(x)的图象关于直线x=a对称，这是比较常见的情形。更特殊的，当a=b=0时，f(x)满足f(-x)=f(x)恒成立，其图象关于直线x=0（即纵轴）对称，这正是偶函数的重要性质。  【模拟试题】1.在区间上不是增函数的是（）A.B.C.D.2.若是x的增函数，则a的取值范围是（）A.（0，2）B.（0，

5、1）C.（1，2）D.（2，）3.已知函数在区间上是具有单调性，且，则方程在区间上（）A.至少有一个实根B.至多有一个实根C.没有实根D.必有惟一的实根4.设是定义在R上的任意一个增函数，，那么必为（）A.增函数且是奇函数B.增函数且是偶函数C.减函数且是奇函数D.减函数且是偶函数5.函数当时，则此函数的单调区间是（）A.B.C.D.6.如果奇函数在区间［3，7］上是增函数且最小值为5，那么在区间上是（）A.增函数且最小值为B.增函数且最大值为C.减函数且最小值为D.减函数且最大值为7.设是R上的奇函数，且当时，，那么当时，（）A.

6、B.C.D.8.若在上是奇函数，且，则（）A.B.C.D.9.设是上的奇函数，即：，当时，，则等于（）A.0.5B.C.1.5D.10.设函数在（0，2）上是增函数，函数是偶函数，则、的大小关系是_____________。11.已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集是_____________。12.设是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线对称，已知时，，则时，_____________。13.已知偶函数在［0，2］内单调递减，若，，则a、b、c之间的大小关系是_____________。14.设，试讨论的增减性。15.已知单

7、调函数满足且，定义域为R。（1）求证：为奇函数；（2）若满足对任意实数x，恒成立，求k取值范围。