数列求和公式推导

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1、卢玉成：数列求和公式推导——数据规律分析法的简单应用数列求和公式推导——数据规律分析法的简单应用江苏省灌溉总渠管理处：卢玉成【预备知识】运用数据规律分析法需要了解“数据规律分析法”原理，请从知网下载《数据规律分析法在流量系数曲线公式拟合中的应用》或《数据规律分析法在曲线优化拟合中的应用》；其它应用示例请从知网下载《利用数据规律分析法巧解数学问题》。求自然序列的数列求和，需要明确一个规律和掌握两个公式。一个规律：总和函数比通项函数高一个幂次。例如通项函数为二次多项式，则总和函数必为三次多项式。两个公式：1、任意阶差分计算公式(差分单元为连续数列值y)。Mi,

2、j=k=0i(-1)kCikyj-k。i差分阶次，j位置编号。这个看似复杂，记住两句话就可以熟练运用它。系数按照杨辉三角，符号从头正负交替。[也就是(a-b)n展开式系数)]，见右下表。阶次差分计算系数表1+1-12+1-2+13+1-3+3-14+1-4+6-4+15+1-5+10-10+5-1差分计算举例(数据系列见下表)：数列编号n1234567数列值y182764125216343序号5—6的一阶差分值：M1,6=216-125=91序号2—4的二阶差分值：M2,4=64-2×27+8=18序号1—4的三阶差分值：M3,4=64-3×27+3×8-

3、1=6序号2—6的四阶差分值：M4,6=216-4×125+6×64-4×27+8=0对于差分计算，由于牵涉到不同类别或不同单项，下面用到代号意义：无特殊不标记，此处通为通项差分——通单项用数字或e表示，如3次方项——3Mi,j。2、多项式系数计算公式。an=Mnn！δn。式中：an多项式系数；Mn对应阶次的差分值；δ数据间距差，数列以自然数排序，取1。要完成全部系数计算，应用降阶法，即从高到低逐个计算。若记f(k)为k次多项式，则有：f(n-1)=f(n)-anxn，利用f(n-1)的n-1阶差分计算an-1，余类推。【应用举例】例1求数列12，42，7

4、2，102…[1+3n-1]2，的求和公式。解：通项为二次函数，总和为三次函数。只需列出前4个数据计算即可。以自然序号排列，δ=1。(合成数据差分计算)总和：1,17,66,166，M3,4=166-3×66+3×17-1=18a3=183!×13=3，转化成二次函数，取前3个数据，1-3×13，17-3×23，66-3×33，即：-2，-7，-15，M2,3=-15+2×7-2=-3a2=-32!×12=-32，转化成一次函数，取前2个数据，-2--3×122，-7--3×222，即：-12，-1，M1,2=-1--12=-12a1=-1/21!×11=

5、-12，a0=1-a3-a2-a1=1-3+32+12=0，∴Sn=3n3-32n2-12n=n(6n2-3n-1)2卢玉成：数列求和公式推导——数据规律分析法的简单应用例2求自然数立方和公式。解：通项为三次函数，总和为四次函数。只需列出前5个数据计算即可。见下表(用分步差分后合成计算)总和函数的四阶差分为通项函数的三阶差分，注意：序号一定要对应。M4,5=通M3,5=53-3×43+3×33-23=6序列号n总和函数一阶差分(通项函数)a4n4a3n3a2n21S1=1214×1412×1314×122S22314×2412×2314×223S33314

6、×3412×334S44314×445S553a4=64!×14=14，将a4n4填入对应列M3,4=通M2,4=43-2×33+23=184M3,4=44-3×34+3×24-14=15a3=M3,4-4M3,43!×13=18-156=12，将a3n3填入对应列，M2,3=通M1,3=33-23=19，4M2,,3=34-2×24+14=2523M2,,3=33-2×23+12=6，a2=M2,3-4M2,3-3M2,32!×12=19-25/2-62=14，将a2n2填入对应列，M1,2=通M0,2=23=8，4M1,2=24-14=154，3M1,

7、2=23-12=72，2M1,2=22-14=34，a1=M1,2-4M1,2-3M1,2-2M1,21！11=8-154-72-34=0，a0=1-a4-a3-a2-a1=1-14-12-14-0=0∴Sn=14n4+12n3+14n2=n2+2n+14n2=[nn+1]24。例3求1×12，5×22，9×32，…，1+4n-1n2的求和公式。解：通项为三次函数，显然总和为四次函数。列表如下，先计算四次方项系数，填入表格再计算三次方项系数，以此类推计算其它系数。序列号n总和函数一阶差分(通项函数)差分计算a4n4差分计算a3n3差分计算a2n2差分计算a

8、1n差分计算1S1=121M0,,1=114M0,1=113M0,