高考数学不等式知识点及相关题型

高考数学不等式知识点及相关题型

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1、不等式一、比较大小作差法:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果。【例1】比较和的大小,其中【例2】设,比较与的大小作商法:常用于分数指数幂的代数式。【例3】设,且,比较与的大小二、不等式的性质:①;②;③;④,;⑤;⑥;⑦;⑧.【例4】若且,则下列不等式恒成立的是【例5】下列命题中正确的是三、性质的应用,待定系数法【例6】不等式组的解集记为D。有下面四个命题:其中的真命题是四、不等式的解法,对题目条件的领悟【例7】已知函数且,则A.c≤3B.3<c≤6C.6<c≤9D.c>9【例8】已知是定义在R上的奇函数,当x>0时,,则不等式的解集用区间表示为:五、不同形

2、式不等式解法1、一元一次不等式ax>b,分别对a、b的正负情况进行讨论2、一元二次不等式解法:图像法、因式分解法(1)化成标准式:;(2)求出对应的一元二次方程的根;(3)画出对应的二次函数的图象;(4)根据不等号方向取出相应的解集。解含参数的一元二次不等式时,要把握好分类讨论的顺序①根据二次项系数的符号进行讨论②根据一元二次方程的根是否存在,即的符号进行讨论③在根存在时,根据根的大小进行讨论【例8】已知不等式的解集是,则不等式的解集是3、简单的一元高次不等式的解法:标根法步骤(1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正;(2)将每一个一次因式的根标在

3、数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过偶弹回;(3)根据曲线显现的符号变化规律,写出不等式的解集。4、解分式不等式不能轻意去分母通常采用:移项(化一边为零)→通分→转化为整式不等式→化所有因式中的变量系数为正,(即不等式两边同除以变量系数,若它的符号不能确定即需要讨论)→“标根”(注意比较各个根的大小,不能比较时即需要讨论);[特别关注]求一个变量的范围时,讨论的也是这个变量,结果要并;讨论的若是另一个变量,结果不能并。【例9】关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式的解集是()A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-1,2)C.

4、(1,2)D.(-∞,1)∪(2,+∞)【例10】解关于的不等式:5、解绝对值不等式:关键是“去绝对值”,①利用绝对值不等式的性质:若M>0则

5、f(x)

6、>Mf(x)>M或f(x)<-M;②平方(不等式两边同正);③讨论(绝对值内的式子为0)。方法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;方法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;方法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想。方法四:两边平方。【例11】设p:x-x-20>0,q:<0,则p是q的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条

7、件6、分段函数形成的不等式一般分段解,再取并集;对较为复杂的分段函数问题可以借助于图象解决。【例12】解不等式【例13】已知:函数().解不等式:.7、抽象函数的不等式离不开函数的单调性。抽象函数的不等式反映出的函数值的大小,需借助于函数的单调性化归为自变量的大小,特别注意定义域。画抽象函数的“概念图”是化抽象为形象的有效途径;对某些有具体函数背景的抽象函数,可以从该具体函数中寻找解题线索。【例12】已知奇函数f(x)在为减函数,f(2)=0则不等式(x-1)f(x-1)<0的解集为:【例13】已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)+2=f(x)+f(y),且当x

8、>0时,f(x)>2,f(3)=5,求不等式f(a2-2a-2)<3的解.8、含参变量无理不等式、含参变量的绝对值不等式、含参变量的指(对数)数不等式问题时常用数形结合。【例14】不等式在[-1,1]上恒成立,则的取值范围是【例15】不等式的解集是()ABCD9、含参不等式恒成立通常采用分离参数法,转化为求某函数的最大值(或最小值)具体地:g(a)>f(x)在x∈A上恒成立g(a)>f(x)max,g(a)0在x∈A上恒成立f(a,x)min>0,(x∈A)及f(a,

9、x)<0在x∈A上恒成立f(a,x)max>0,(x∈A)来转化;还可以借助于函数图象解决问题。特别关注:“不等式f(a,x)≥0对所有x∈M恒成立”与“不等式f(a,x)≥0对所有a∈M恒成立”是两个不同的问题,前者是关于x的不等式,而后者则应视为是关于a的不等式。特别提醒:“判别式”只能用于“二次函数对一切实数恒成立”的问题,其它场合,概不适用。【例16】定义在R上的函数f(x)为奇函数,且在为增函数,对任意∈R,不等式f(cos2-3)+f(2m-sin)>0恒成立,则实数m的取值范围是【例17】设奇函数在[

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