[管理学]复变函数

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1、1.球极射影在点坐标是(x,y,u)的三维空间中，把xOy面看作是z平面。考虑球面S：A取定球面上一点N(0,0,1)称为球极。作连接N与XOY平面上任意点A(x,y,0)的直线,与球面的交点为则A'称为A在球面上的球极射影。三、复球面与无穷大由于A(x,y,0),A'(x',y',u'),N(0,0,1)三点共线，所以有（x-0）:(y-0):(0-1)=(x'-0):(y'-0):(u'-1)从而有综合可得：所以对应，建立一个复平面C与单位球面S-{N}之间的一个1-1对应。球极射影：球极射影：A'(x',y',u')如果z的模越大，则它的球极射影越

2、接近于N(0,0,1)。因而球面上的球极N就是复数的几何表示.2.扩充复平面的定义我们规定:球极N与一个模为无穷大的假想的点对应这个假想的点称为“复数无穷远点”记作.复平面加上后称为扩充复平面，记作C包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面.对于复数来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大.复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点．无穷远点与无穷大这个复数相对应,所谓无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯

3、一的一个复数，不要与实数中的无穷大或正、负无穷大混为一谈．§2复平面的拓扑1.复平面点集的几个基本概念2.区域与约当(Jordan)曲线4、初步概念平面上以z0为中心,δ(任意的正数)为半径的圆:

4、z-z0

5、<δ内部的点的集合称为z0的邻域,记为Ｕ(z0,δ);而称由不等式0<

6、z-z0

7、<δ所确定的点集称为z0的去心邻域.1)邻域：2)内点：对任意z0属于G，若存在Ｕ(z0,δ)，使该邻域内的所有点都属于G，则称z0是G的内点。3)开集、闭集:如果G内的每个点都是它的内点,则称G为开集。如果点集G的余集为开集，则称G为闭集.4)外点、聚点：设G为一平面

8、点集，若z0及其邻域不属于G,称z0为G的外点；若z0的任意邻域和E相交都有无穷多个点，则称z0为E的聚点（极限点）。5)边界点、孤立点：，而另一部分称点z0为E的边界点；E的全部边界点所组成的集合称为E的边界,记为称为E的闭包，记为若存在一个r>0，使得则称a为E的孤立点（是边界点但不是聚点）.6）有界点集，无界点集：如果点集E以被包含在一个以原点为中心的圆里面,即存在正数M,使点集E的每个点z都满足

9、z

10、

11、

12、z-a

13、=r}是以a为心

14、，r为半径的圆周，它是圆盘U(a,r)和闭圆盘的边界。例3、复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集。例4、集合E={z

15、0<

16、z-a

17、

18、z-z0

19、

20、界由两个圆周

21、z-z0

22、=r1和

23、z-z0

24、=r2构成,称为圆环域.如果在圆环域内去掉一个(或几个)点,它仍然构成区域,只是区域的边界由两个圆周和一个(或几个)孤立的点所构成(1)圆环域:课堂练习判断下列区域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)带形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)无界.2)连续曲线:平面曲线C的复数表示:C的实参数方程C的复参数方程起点z()C终点z()zxyCC的正向：起点终点o没有重点的曲线C称为简单曲线(或若尔当曲线).重点重点重点换句话说,简单曲线自身不相交.课堂练习判断下列曲线是否为简单曲线?答案简单闭简

25、单不简单闭不简单不闭简单闭曲线的性质约当定理任意一条简单闭曲线C把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集,其中除去C外,一个是有界区域,称为C的内部,另一个是无界区域,称为C的外部,C为它们的公共边界.简单闭曲线的这一性质,其几何直观意义是很清楚的.3)光滑曲线、分段光滑曲线如果令这就是平面曲线的复数表示式.如果在区间atb上x'(t)和y'(t)都是连续的,且对于t的每一个值,有[x'(t)]2+[y'(t)]20这曲线称为光滑的，由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线,称为按段光滑曲线。4)单连通域、多连通域复平面上的一个区域D,如果在其中任作

26、一条简单闭曲线C,而曲线C的内部总属于D,则称区域D为单连通域，一个区域如果不是