§1.2概率的定义及其确定方法

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1、直观定义——事件A出现的可能性大小.统计定义——事件A在大量重复试验下出现的频率的稳定值称为该事件的概率.古典定义；几何定义.§1.2概率的定义及其确定方法非负性公理：P(A)0;正则性公理：P(Ω)=1;可列可加性公理：若A1,A2,……,An……互不相容，则1.2.1概率的公理化定义定义1.2.1设Ω为样本空间，F是由Ω的一些子集组成的事件域，若∀AF,实值函数P(A)满足:从n个元素中任取r个，求取法数.排列讲次序，组合不讲次序.全排列：Pn=n!0!=1.重复排列：nr选排列：1.2.2排列与组合公式组

2、合组合：重复组合：求排列、组合时，要掌握和注意：加法原则、乘法原则.注意加法原理完成某件事情有n类途径，在第一类途径中有m1种方法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第n类途径中有mn种方法，则完成这件事共有m1+m2+…+mn种不同的方法.乘法原理完成某件事情需先后分成n个步骤，做第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，依次类推，第n步有mn种方法，则完成这件事共有m1×m2×…×mn种不同的方法.随机试验可大量重复进行.1.2.3确定概率的频率方法进行n次重复试验，记n(A)为事件A的频数，称为事件A的频

3、率.频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值).用频率的稳定值作为该事件的概率.古典概型若一个随机试验(Ω,F,P)具有以下两个特征：(1)有限性:样本空间的元素(基本事件)只有为有限个，即Ω={ω1，ω2，…，ωn}；(2)等可能性:每个基本事件发生的可能性是相等的，即P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn).则称这类随机试验的数学模型为古典概型.则事件A的概率为:P(A)=A中样本点的个数/样本点总数1.2.4确定概率的古典方法抛一枚硬币三次抛三枚硬币一次Ω1={(正正正),(反正正),(正反正),(正正反),(

4、正反反),(反正反),(反反正),(反反反)}此样本空间中的样本点等可能.Ω2={(三正),(二正一反),(二反一正),(三反)}此样本空间中的样本点不等可能.注意例1.2.1六根草，头两两相接、尾两两相接．求成环的概率.解：用乘法原则直接计算所求概率为n个人围一圆桌坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率.解：考虑甲先坐好，则乙有n-1个位置可坐，而“甲乙相邻”只有两种情况，所以P(A)=2/(n-1)．例1.2.2n个人坐成一排，求甲、乙两人相邻而坐的概率.(注意：请与上一题作比较)解：1)先考虑样本空间的样本点数：甲先

5、坐、乙后坐，则共有n(n1)种可能.2)甲在两端，则乙与甲相邻共有2种可能.3)甲在中间(n2)个位置上，则乙左右都可坐，所以共有2(n2)种可能．由此得所求概率为：例1.2.31.2.5确定概率的几何方法几何概型若①可度量性．样本空间充满某个区域，其度量(长度、面积、体积)为S；②等可能性．落在中的任一子区域A的概率，只与子区域的度量SA有关，而与子区域的位置无关，则事件A的概率为:P(A)=SA/S几何概型的例子例1.2.3蒲丰(Buffon)投针问题平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意投掷

6、一枚长为l的针，求针与平行线相交的概率.蒲丰投针问题(续1)解：以x表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以表示针与此直线间的交角.易知样本空间满足：0xd/2;0.形成x-平面上的一个矩形，其面积为：S=(d)/2.A=“针与平行线相交”的充要条件是:x(l/2)sin.针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方法求解得蒲丰投针问题(续2)由蒲丰投针问题知：长为l的针与平行线相交的概率为:2l/d.而实际去做N次试验，得n次针与平行线相交，则频率为:n/N.用频率代替概率得：2lN/

7、(dn).历史上有一些实验数据.的随机模拟蒙特卡罗（MonteCarlo）法蒲丰投针问题的推广平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为a,b,c(均小于d)的三角形，求三角形与平行线相交的概率．分析：三角形与平行线相交有以下三种情况：1)一个顶点在平行线上;2)一条边与平行线重合;3)两条边与平行线相交.前两种情况出现的概率为零.所以只要去确定两条边与平行线相交的概率.解：记Pab,Pac,Pbc,Pa,Pb,Pc分别为边ab,ac,bc,a,b,c与平行线相交的概率，则所求概率为p=P(三角形与

8、平行线相交)=Pab+Pac+Pbc.由蒲丰投针问题知Pa=2a/(d),Pb=2b/(d),Pc=2c/(d).因为Pa=Pab+Pac,Pb=Pab+Pbc,Pc=Pac+Pbc所以Pa+Pb+Pc=2(Pab+Pac+Pbc),由此得p=Pab+Pac+Pbc=(Pa+Pb+Pc)/2=(a+b+c)/(d).在单位圆内随机地取一条弦，其长超过