§4.1矩阵的特征值与特征向量

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1、第四章§4.1矩阵的特征值与特征向量§4.1特征值与特征向量一、特征值与特征向量的概念定义1设A是n阶矩阵如果数和n维非零列向量x使Axx成立则数称为方阵A的特征值非零列向量x称为A的对应于特征值的特征向量注：(1)特征向量x≠0与特征值都是对于方阵而言;(2)一个特征向量只能属于一个特征值;而与特征值对应特征向量不唯一。二、特征值与特征向量的求法已知所以齐次线性方程组有非零解定义2称为矩阵A的特征多项式.称为矩阵A的特征方程.特征方程

2、AI

3、0的根就是矩阵A的特征值齐次方程(AI)x0的非零解x就是A的对应于特征值的特征向量例1求矩阵

4、的特征值和特征向量解A的特征多项式为所以A的特征值为12231得基础解系p2(121)T得基础解系p1(001)T对于12解方程(A2I)x0所以kp1(k0)是对应于12的全部特征向量对于231解方程(AI)x0所以kp2(k0)是对应于231的全部特征向量例2求矩阵的特征值和特征向量解A的特征多项式为所以A的特征值为11232得基础解系得基础解系p1(101)T对于11解方程(AI)x0所以对应于11的全部特征向量为kp1(k0)对于

5、232解方程(A2I)x0所以对应于232的全部特征向量为k2p2k3p3(k2k3不全为0)p2(011)Tp3(104)T三、特征值与特征向量的性质例3设是方阵A的特征值证明(1)2是A2的特征值证明因为是A的特征值故有p0使App于是(1)A2p2p(Ap)A(p)A(Ap)所以2是A2的特征值因为p0知0有pA1p由App(2)当A可逆时注：定理3的结论对整数也成立.