《复数与复平面》ppt课件

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1、《复变函数与积分变换》zPN《复变函数与积分变换》课程基本介绍课程名称：复变函数与积分变换开课学时：48学时考核方式：30分平时成绩（考勤+作业）70分卷面成绩（期末考试）答疑时间及地点：下周四、周五到11号楼书库购买作业本，价钱3元，必买研究对象复变函数（自变量为复数的函数）主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。主要内容复变函数的积分、级数、留数、保形映射，积分变换等。复数与复变函数、解析函数、课程基本介绍学习方法复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不

2、同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。复变函数的发展过程复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”。直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题。复数

3、才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。复变函数的发展过程复变函数的发展过程1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家

4、公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。复变函数的发展过程二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。复变函数的发展过程第一章复数与复变函数第一讲复数及复平面学习要点掌握复数的意义及代数运算掌握复平面与复数的表示方法掌握复数的乘幂与方根§1复数及其代数运算1.复数的概念复数z的实部Re(z)=x;虚部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)一般,任意两个复数不能比较大小。复数相等2.四则运

5、算z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)复数的运算满足加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律和分配律。共轭复数的性质定义若z=x+iy,称z=x-iy为z的共轭复数.(conjugate)3.共轭复数解：§2复数的几何表示1.点的表示横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等。2.向量表示法oxy(z)P(x,y)xyz=0时，幅角无意义。幅角无穷多：Ar

6、gz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，当z落于一,四象限时，不变。当z落于第二象限时，加p。当z落于第三象限时，减p.根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式oxy(z)z1z2z1+z2oxy(z)z1z2z2-z13.三角表示法可以用复数的模与辐角来表示非零复数z4.指数表示法yox例1例2例3例1解：例2解：例2解：例3证明：例3证明：§3复数的乘幂与方根1.复数的乘积与商利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法集合相等定理：对除法，有将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到

7、z2

8、倍。oxy

9、(z)z1z2z2乘法的几何意义例1解：2.复数的乘幂则有：——德摩弗(DeMoivre)公式3.复数的方根而k取其它整数时，这些根又会重复出现。例2例3例2例3几何上，的n个值是以原点为中心，为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点。xyoONzP4.复球面与无穷远点球极平面射影法取一个在原点O与z平面相切的球面，过O点作z平面的垂线与球面交于N点（称为北极或者球极）。对于平面上的任一点z，用一条空间直线把它和球极连接起来，交球面于P。从几何上可以看出：z平面上每个以原点为圆心的圆周对应于球面上的某一个纬圈;N这

10、个圆周以外的点则对应于相应纬圈以北的点，而且若点z的模越大，球面上相应的点则越靠近北极N。规定无穷远点的实部、虚部及幅角都没有意义请预习第一章后面的部分。谢谢同学们，再见。欧拉公