《线性代数模型》ppt课件

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1、线性代数建模线性代数内容简介第一章行列式第二章矩阵及其运算第三章矩阵的初等变换与线性方程组第四章向量组的线性相关性第五章相似矩阵及二次型线性代数在数学建模中的应用举例1距离问题2状态转移问题3马氏链模型（常染色体遗传模型、竞赛模型）4差分方程模型（市场经济的蛛网模型、国民经济的稳定性、投入产出分析、商品销售量预测、人口问题的差分方程模型）1距离问题1.1基因间“距离”的表示1.2常见的距离公式（聚类分析,相似性度量）1.1基因间“距离”的表示1.2常见的距离公式（聚类分析）绝对值距离欧式距离明考斯基距离兰氏距离马氏距离绝对值距离两个n维向

2、量X1与X2，距离D=∣x11-x21∣+∣x12-x22∣+…+∣x1n-x2n∣欧式距离(分量平方求和再开方)欧氏距离定义：欧氏距离（Euclideandistance）也称欧几里得距离，它是一个通常采用的距离定义，它是在m维空间中两个点之间的真实距离。在二维和三维空间中的欧式距离的就是两点之间的距离，二维的公式是d=sqrt((x1-x2)^+(y1-y2)^)三维的公式是d=sqrt(x1-x2)^+(y1-y2)^+(z1-z2)^)推广到n维空间，欧式距离的公式是d=sqrt(∑(xi1-xi2)^)这里i=1,2..nxi1

3、表示第一个点的第i维坐标,xi2表示第二个点的第i维坐标n维欧氏空间是一个点集,它的每个点可以表示为(x(1),x(2),...x(n)),其中x(i)(i=1,2...n)是实数,称为x的第i个坐标,两个点x和y=(y(1),y(2)...y(n))之间的距离d(x,y)定义为上面的公式.欧氏距离看作信号的相似程度。距离越近就越相似，就越容易相互干扰，误码率就越高。明考斯基距离(分量p次方求和再开p次方)d=(∑(x1i-x2i)p)1/p这里i=1,2..n兰氏距离d=1/p∑∣x1i-x2i∣/(x1i+x2i)这里i=1,2..n

4、马氏距离是由印度统计学家马哈拉诺比斯(P.C.Mahalanobis)提出的，表示数据的协方差距离。它是一种有效的计算两个未知ion=edit">样本集的相似度的方法。与ion=edit">欧式距离不同的是它考虑到各种特性之间的联系（例如：一条关于身高的信息会带来一条关于体重的信息，因为两者是有关联的）并且是尺度无关的(scale-invariant)，即独立于测量尺度。2状态转移问题所谓状态转移问题讨论的是在一定的条件下，系统由一状态逐步转移到另一状态是否可能，如果可以转移的话，应如何具体实现？例1人、狗、鸡、米过河问题这是一个人所共知

5、而又十分简单的智力游戏。某人要带狗、鸡、米过河，但小船除需要人划外，最多只能载一物过河，而当人不在场时，狗要咬鸡、鸡要吃米，问此人应如何过河。在本问题中，可采取向量表示状态：一物（或人）在此岸时相应位置用1表示，在彼岸时用0表示。例如（1,0,1,0）表示人和鸡在此岸，而狗和米则在对岸。（i）可取状态：根据题意，并非所有状态都是允许的，例如（0,1,1,0）就是一个不可取的状态。本题中可取状态（即系统允许的状态）可以用穷举法列出来，它们是：人在此岸人在对岸(1，1，1，1)(0，0，0，0)(1，1，1，0)(0，0，0，1)(1，1，0

6、，1)(0，0，1，0)(1，0，1，1)(0，1，0，0)(1，0，1，0)(0，1，0，1)共有十个可取状态，对一般情况，应找出状态为可取的充要条件。（ii）可取运算：状态转移需经状态运算来实现。在实际问题中，摆一次渡即可改变现有状态。为此也引入一个四维向量（转移向量），用它来反映摆渡情况。例如（1，1，0，0）表示人带狗摆渡过河。根据题意，允许使用的转移向量只能有（1，0，0，0，）、（1，1，0，0）、（1，0，1，0）、（1，0，0，1）四个。规定一个状态向量与转移向量之间的运算。规定状态向量与转移向量之和为一新的状态向量，其运

7、算为对应分量相加，且规定0+0=0，1+0=0+1=1，1+1=0。在具体转移时，只考虑由可取状态到可取状态的转移。问题化为：由初始状态（1，1，1，1）出发，经奇数次上述运算转化为（0，0，0，0）的转移过程。我们可以如下进行分析：（第一次渡河）（第二次渡河）＝以下可继续进行下去，直至转移目的实现。上述分析实际上采用的是穷举法，对于规模较大的问题是不宜采用的。例2夫妻过河问题这是一个古老的阿拉伯数学问题。有三对夫妻要过河，船最多可载两人且无船夫，且所有人均会划船。约束条件是阿拉伯教义，任何已婚女子不得在其丈夫不在场的情况下与其他男子呆在

8、一起，否则将被处死！问此时这三对夫妻能否安全过河？这一问题的状态和运算与前一问题有所不同，根据题意，状态应能反映出两岸的男女人数，过河也同样要反映出性别故可如下定义：（i）可取状态：用H和W分